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# 使用 Scikit-learn 构建回归模型：四种回归方法
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## 初学者提示
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线性回归用于预测<strong>数值型数据</strong>（例如房价、温度或销售额）。
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其原理是找到一条最佳拟合输入特征与输出之间关系的直线。
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本课重点理解概念，再探讨更高级的回归技术。
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> 信息图作者：[Dasani Madipalli](https://twitter.com/dasani_decoded)
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## [课前测验](https://ff-quizzes.netlify.app/en/ml/)
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> ### [本课程也提供 R 语言版本！](../../../../2-Regression/3-Linear/solution/R/lesson_3.html)
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### 介绍
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到目前为止，你已经了解了什么是回归，并用我们本课将持续使用的南瓜定价数据集进行了探索。你还用 Matplotlib 将数据进行了可视化。
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现在你准备深入学习机器学习中的回归。虽然可视化有助于理解数据，但机器学习的真正威力来自于_训练模型_。模型在历史数据上训练，能够自动捕捉数据间的依赖关系，并能对未见过的新数据做出预测。
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本课将介绍两种回归类型：_基础线性回归_和_多项式回归_，并讲解其中的数学原理。这些模型将帮助我们根据不同输入预测南瓜价格。
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[](https://youtu.be/CRxFT8oTDMg "为初学者讲解线性回归")
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> 🎥 点击上方图片观看线性回归的简短视频概览。
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> 在整个课程中，我们假设学生数学基础有限，力求让其他领域的学生也能理解，因此请关注笔记、🧮 数学提示、图表等辅助学习工具。
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### 先决条件
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到目前为止，你应该熟悉我们正在研究的南瓜数据结构了。课中的 _notebook.ipynb_ 文件中已经预加载并预处理了数据。文件中每个蒲式耳的南瓜价格展示于新的数据框中。确保你可以在 Visual Studio Code 的内核中运行这些笔记本。
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### 准备工作
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提醒一下，你加载数据是为了提出问题。
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- 什么时候买南瓜最合适？
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- 一箱迷你南瓜价格大概是多少？
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- 应该买半蒲式耳篮装，还是1 1/9蒲式耳盒装？
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让我们继续挖掘数据。
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上一课你创建了 Pandas 数据框，并填充了部分原始数据，将价格标准化为每蒲式耳价格。但这样你只能获得约400条数据，且仅限秋季月份。
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看看本课随附笔记本中预加载的数据。数据已加载，并绘制了月份散点图。或许我们可以通过更深入的数据清洗来了解数据的本质。
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## 线性回归直线
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正如第1课所学，线性回归的目标是绘制一条线来：
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- <strong>展示变量关系</strong>。显示变量之间的关系。
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- <strong>进行预测</strong>。准确预测新数据点相对于该线的位置。
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<strong>最小二乘回归</strong>通常会绘制这样的线。“最小二乘”指的是最小化模型总误差的过程。对每个数据点，测量其与回归线的垂直距离（称为残差）。
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我们平方这些距离主要有两个原因：
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1. <strong>大小优先于方向</strong>：想让误差-5与+5同等对待，平方将所有值变为正数。
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2. <strong>惩罚离群值</strong>：平方会给较大误差更高权重，迫使回归线更靠近远离的点。
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接着将所有平方值相加。目标是找到使该总和最小的线——这就是“最小二乘”名称的由来。
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> **🧮 看数学表达**
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>
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> 这条称为_最佳拟合线_的线可以用[方程](https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_linear_regression)表达：
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>
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> ```
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> Y = a + bX
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> ```
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>
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> `X` 是“自变量”，`Y` 是“因变量”。斜率为 `b`，截距为 `a`，表示 `X=0` 时的 `Y` 值。
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>
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>
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>
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> 首先计算斜率 `b`。信息图作者 [Jen Looper](https://twitter.com/jenlooper)
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>
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> 换句话说，对于南瓜数据：“按月份预测南瓜每蒲式耳价格”，`X` 是价格，`Y` 是销售月份。
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>
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>
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>
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> 计算 `Y` 值。如果你付了大约4美元，那一定是4月！信息图作者 [Jen Looper](https://twitter.com/jenlooper)
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>
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> 计算公式要展示斜率，还要考虑截距，即当 `X=0` 时 `Y` 的位置。
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>
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> 你可以参考 [Math is Fun](https://www.mathsisfun.com/data/least-squares-regression.html) 网站来学习计算方法。还可以访问[这个最小二乘计算器](https://www.mathsisfun.com/data/least-squares-calculator.html)观察数字如何影响回归线。
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## 相关性
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另一个要理解的术语是给定 `X` 和 `Y` 变量之间的<strong>相关系数</strong>。用散点图可以快速观察这一系数。数据点整齐排列成线的图表相关性高，点散布杂乱无章则相关性低。
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好的线性回归模型会有较高的（接近于1而非0）相关系数，采用最小二乘法拟合回归线。
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✅ 运行本课的笔记本，看看“月份与价格”的散点图。根据你的视觉判断，这两个变量的南瓜销售价格相关性是高还是低？如果用更细化的度量（如一年中的某一天，即从年初起的天数）替代 `Month`，相关性会变化吗？
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下面的代码假设已清理数据并获得名为 `new_pumpkins` 的数据框，内容类似：
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ID | Month | DayOfYear | Variety | City | Package | Low Price | High Price | Price
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---|-------|-----------|---------|------|---------|-----------|------------|-------
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70 | 9 | 267 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 15.0 | 15.0 | 13.636364
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71 | 9 | 267 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 18.0 | 18.0 | 16.363636
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72 | 10 | 274 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 18.0 | 18.0 | 16.363636
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73 | 10 | 274 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 17.0 | 17.0 | 15.454545
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74 | 10 | 281 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 15.0 | 15.0 | 13.636364
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> 清理数据的代码可见于[`notebook.ipynb`](notebook.ipynb)中。我们执行了与上一课相同的清理步骤，并用如下表达式计算了 `DayOfYear` 列：
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```python
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day_of_year = pd.to_datetime(pumpkins['Date']).apply(lambda dt: (dt-datetime(dt.year,1,1)).days)
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```
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既然已理解线性回归背后的数学原理，让我们创建一个回归模型，看看是否能预测哪种南瓜包装的价格最优。想为节日南瓜园采购南瓜的人可能想知道这些信息，以便优化采购计划。
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## 寻找相关性
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[](https://youtu.be/uoRq-lW2eQo "为初学者讲解相关性：线性回归的关键")
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> 🎥 点击上方图片观看关于相关性的简短视频。
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上一课你可能已经看到，不同月份的平均价格如下图所示：
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<img alt="按月平均价格" src="../../../../translated_images/zh-CN/barchart.a833ea9194346d76.webp" width="50%"/>
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这说明应存在某种相关性，我们可以试着训练线性回归模型来预测 `Month` 与 `Price` 之间，或 `DayOfYear` 与 `Price` 之间的关系。以下是价格与一年中日期关系的散点图：
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<img alt="价格与年日期散点图" src="../../../../translated_images/zh-CN/scatter-dayofyear.bc171c189c9fd553.webp" width="50%" />
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我们用 `corr` 函数来看看相关性：
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```python
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print(new_pumpkins['Month'].corr(new_pumpkins['Price']))
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print(new_pumpkins['DayOfYear'].corr(new_pumpkins['Price']))
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```
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看起来相关性非常小，`Month` 为 -0.15，`DayOfYear` 为 -0.17，但可能存在另一种重要关系。不同南瓜品种对应不同价格集群。为确认此假设，我们用不同颜色绘制各品种。通过给 `scatter` 函数传递 `ax` 参数，可以在同一图表上绘制所有点：
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```python
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ax=None
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colors = ['red','blue','green','yellow']
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for i,var in enumerate(new_pumpkins['Variety'].unique()):
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df = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']==var]
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ax = df.plot.scatter('DayOfYear','Price',ax=ax,c=colors[i],label=var)
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```
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<img alt="价格与年日期不同颜色散点图" src="../../../../translated_images/zh-CN/scatter-dayofyear-color.65790faefbb9d54f.webp" width="50%" />
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调查显示，品种对整体价格的影响大于销售日期。我们用柱状图表示：
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```python
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new_pumpkins.groupby('Variety')['Price'].mean().plot(kind='bar')
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```
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<img alt="按品种划分的价格柱状图" src="../../../../translated_images/zh-CN/price-by-variety.744a2f9925d9bcb4.webp" width="50%" />
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先暂时只关注一种品种——“pie type”，看看日期对价格的影响：
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```python
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pie_pumpkins = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']=='PIE TYPE']
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pie_pumpkins.plot.scatter('DayOfYear','Price')
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```
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<img alt="pie type 南瓜的价格与年日期散点图" src="../../../../translated_images/zh-CN/pie-pumpkins-scatter.d14f9804a53f927e.webp" width="50%" />
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若用 `corr` 函数计算 `Price` 和 `DayOfYear` 的相关系数，结果大概为 `-0.27`，说明训练预测模型是有意义的。
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> 在训练线性回归模型前，务必保证数据干净。线性回归对缺失值不敏感，最合理的做法是去除所有空值：
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```python
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pie_pumpkins.dropna(inplace=True)
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pie_pumpkins.info()
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```
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另一种做法是用对应列的均值填充空白值。
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## 简单线性回归
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[](https://youtu.be/e4c_UP2fSjg "为初学者讲解使用 Scikit-learn 进行线性和多项式回归")
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> 🎥 点击上方图片观看线性回归和多项式回归的简短视频。
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我们将使用<strong>Scikit-learn</strong>库训练线性回归模型。
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```python
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from sklearn.linear_model import LinearRegression
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from sklearn.metrics import mean_squared_error
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from sklearn.model_selection import train_test_split
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```
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首先，将输入值（特征）和预期输出（标签）分隔成独立的 numpy 数组：
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```python
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X = pie_pumpkins['DayOfYear'].to_numpy().reshape(-1,1)
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y = pie_pumpkins['Price']
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```
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> 注意，我们对输入数据进行了 `reshape`，以便线性回归库能正确解读。线性回归要求输入为二维数组，数组每行为一组输入特征向量。这里只有一个输入，因此需要形状为 N×1 的数组，N 是数据集大小。
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接着，需要将数据分割为训练集和测试集，以便训练后验证模型：
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```python
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X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
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```
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最后，训练线性回归模型只需两行代码。定义 `LinearRegression` 对象，用 `fit` 方法拟合数据：
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```python
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lin_reg = LinearRegression()
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lin_reg.fit(X_train,y_train)
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```
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`LinearRegression` 对象在 `fit` 之后包含了回归的所有系数，可以通过 `.coef_` 属性访问。在我们的例子中，只有一个系数，应该大约是 `-0.017`。这意味着价格似乎随着时间略有下降，但不多，大约每天降 2 美分。我们还可以通过 `lin_reg.intercept_` 访问回归与 Y 轴的截距点——在我们的例子中大约是 `21`，表示年初的价格。
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为了查看模型的准确度，我们可以在测试数据集上预测价格，然后测量预测值与预期值的接近程度。可以使用均方根误差（RMSE）指标，即所有预期值与预测值差值平方的平均值的平方根。
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```python
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pred = lin_reg.predict(X_test)
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rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
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print(f'RMSE: {rmse:3.3} ({rmse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')
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```
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我们的误差大约是 2 点，约为 ~17%。不是很理想。模型质量的另一个指标是<strong>决定系数</strong>，可以这样获得：
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```python
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score = lin_reg.score(X_train,y_train)
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print('Model determination: ', score)
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```
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如果值为 0，表示模型没有考虑输入数据，表现为<em>最差的线性预测器</em>，即结果的均值。值为 1 表示我们可以完美预测所有预期输出。在我们的例子中，系数约为 0.06，相当低。
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我们还可以将测试数据和回归线画在一起，更直观地观察回归效果：
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```python
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plt.scatter(X_test,y_test)
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plt.plot(X_test,pred)
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```
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<img alt="Linear regression" src="../../../../translated_images/zh-CN/linear-results.f7c3552c85b0ed1c.webp" width="50%" />
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## 多项式回归
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另一种线性回归称为多项式回归。有时变量之间存在线性关系——比如，体积越大的南瓜价格越高，但有时这些关系不能用平面或直线表示。
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✅ 这里有一些[更多示例](https://online.stat.psu.edu/stat501/lesson/9/9.8)演示可以使用多项式回归的数据
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再看看日期和价格的关系。这个散点图是否必然适合用直线来分析？价格难道不会波动吗？这时可以尝试多项式回归。
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✅ 多项式是由一个或多个变量及系数组成的数学表达式
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多项式回归创建一条曲线来更好地拟合非线性数据。在我们的例子中，如果在输入数据中加入平方的 `DayOfYear` 变量，应该可以用抛物线拟合数据，在一年中的某个点达到最低点。
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Scikit-learn 包含一个方便的[流水线 API](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.pipeline.make_pipeline.html?highlight=pipeline#sklearn.pipeline.make_pipeline)来组合不同的数据处理步骤。<strong>流水线</strong>是由一系列<strong>估计器</strong>组成的链。在我们的例子中，我们将创建一个流水线，先添加多项式特征，然后训练回归模型：
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```python
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from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
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from sklearn.pipeline import make_pipeline
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pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
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pipeline.fit(X_train,y_train)
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```
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使用 `PolynomialFeatures(2)` 意味着包括输入数据中的所有二次多项式。在我们的例子中，这仅表示 `DayOfYear` 的平方，但如果有两个输入变量 X 和 Y，就会添加 X²、XY 和 Y²。如果需要，也可以使用更高次数的多项式。
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流水线可以像原始的 `LinearRegression` 对象一样使用，即可以 `fit` 流水线，然后用 `predict` 获得预测结果。下面是测试数据和拟合曲线的图示：
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<img alt="Polynomial regression" src="../../../../translated_images/zh-CN/poly-results.ee587348f0f1f60b.webp" width="50%" />
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使用多项式回归，我们可以得到稍低的均方误差和更高的决定系数，但提升不大。我们还需要考虑其他特征！
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> 你可以看到南瓜最低价格出现在万圣节附近。你如何解释这一现象？
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🎃 恭喜，你刚刚创建了一个能够帮助预测派皮南瓜价格的模型。你可能会对所有南瓜类型都重复这个过程，但那会很繁琐。接下来我们学习如何在模型中考虑南瓜品种！
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## 类别特征
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理想情况下，我们希望用同一个模型预测不同南瓜品种的价格。但 `Variety` 一栏与 `Month` 等数值型列不同，它包含的是非数值数据。这类列称为<strong>类别特征</strong>。
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[](https://youtu.be/DYGliioIAE0 "ML for beginners - 使用线性回归预测类别特征")
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> 🎥 点击上图观看一个简短视频，介绍如何使用类别特征。
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你可以看到平均价格如何根据品种变化：
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<img alt="Average price by variety" src="../../../../translated_images/zh-CN/price-by-variety.744a2f9925d9bcb4.webp" width="50%" />
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为了在模型中考虑品种，首先需要对其进行数值化，或称<strong>编码</strong>。编码有几种方法：
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* 简单的<strong>数字编码</strong>会建立一个品种表，然后用该表中的索引替换品种名称。这对线性回归不是最优，因为线性回归将索引的数值直接参与计算，乘以某个系数后加到结果中。在这里，索引与价格关系明显非线性，即使索引按照特定顺序排列。
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* <strong>独热编码</strong>会用四个不同的列替换掉 `Variety` 列，每个对应一个品种。对应品种的列取 1，其他列为 0。这样线性回归会得到四个系数，分别对应四种南瓜品种的“基础价”（或“附加价”）。
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下面的代码展示如何对品种进行独热编码：
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```python
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pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
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```
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ID | FAIRYTALE | MINIATURE | MIXED HEIRLOOM VARIETIES | PIE TYPE
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----|-----------|-----------|--------------------------|----------
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70 | 0 | 0 | 0 | 1
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71 | 0 | 0 | 0 | 1
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... | ... | ... | ... | ...
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1738| 0 | 1 | 0 | 0
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1739| 0 | 1 | 0 | 0
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1740| 0 | 1 | 0 | 0
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1741| 0 | 1 | 0 | 0
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1742| 0 | 1 | 0 | 0
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使用独热编码的品种作为输入训练线性回归，只需正确初始化 `X` 和 `y` 数据：
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```python
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X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
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y = new_pumpkins['Price']
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```
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其余代码与之前训练线性回归时相同。你尝试后会发现均方误差差不多，但决定系数大大提升到 ~77%。为了得到更精准的预测，可以同时考虑更多类别特征和数值特征，比如 `Month` 或 `DayOfYear`。要合并成一个大特征数组，可以使用 `join`：
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```python
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X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
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.join(new_pumpkins['Month']) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
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y = new_pumpkins['Price']
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```
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这里还考虑了 `City` 和 `Package` 类型，最后得到均方误差 2.84（10%），决定系数 0.94！
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## 综合应用
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为了做出最佳模型，我们可以结合上述例子中独热编码的类别特征和数值特征，再使用多项式回归。以下是完整代码，供你方便使用：
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```python
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# 设置训练数据
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X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
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.join(new_pumpkins['Month']) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
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y = new_pumpkins['Price']
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# 进行训练-测试集划分
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X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
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# 设置并训练流水线
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pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
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pipeline.fit(X_train,y_train)
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# 预测测试数据结果
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pred = pipeline.predict(X_test)
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# 计算均方误差和决定系数
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mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
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print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')
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score = pipeline.score(X_train,y_train)
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print('Model determination: ', score)
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```
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这应该能达到接近 97% 的最高决定系数，均方误差为 2.23（约 8% 预测误差）。
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| 模型 | MSE | 决定系数 |
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| `DayOfYear` 线性回归 | 2.77 (17.2%) | 0.07 |
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| `DayOfYear` 多项式回归 | 2.73 (17.0%) | 0.08 |
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| `Variety` 线性回归 | 5.24 (19.7%) | 0.77 |
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| 所有特征 线性回归 | 2.84 (10.5%) | 0.94 |
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| 所有特征 多项式回归 | 2.23 (8.25%) | 0.97 |
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🏆 干得好！你在一节课中创建了四个回归模型，并将模型质量提升到了 97%。回归的最后一节课中，你将学习用逻辑回归确定类别。
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## 🚀挑战
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尝试本笔记本中的几个不同变量，观察它们的相关性如何影响模型准确度。
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## [课后小测](https://ff-quizzes.netlify.app/en/ml/)
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## 复习与自学
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本课我们学习了线性回归。还有其他重要的回归类型。请学习逐步回归、岭回归、套索回归和弹性网方法。推荐课程：[斯坦福统计学习课程](https://online.stanford.edu/courses/sohs-ystatslearning-statistical-learning)
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## 作业
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[建立模型](assignment.md)
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