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使用 Scikit-learn 构建回归模型：四种回归方法

初学者提示

线性回归用于预测数值型数据（例如房价、温度或销售额）。 其原理是找到一条最佳拟合输入特征与输出之间关系的直线。

本课重点理解概念，再探讨更高级的回归技术。

信息图作者：Dasani Madipalli

课前测验

本课程也提供 R 语言版本！

介绍

到目前为止，你已经了解了什么是回归，并用我们本课将持续使用的南瓜定价数据集进行了探索。你还用 Matplotlib 将数据进行了可视化。

现在你准备深入学习机器学习中的回归。虽然可视化有助于理解数据，但机器学习的真正威力来自于_训练模型_。模型在历史数据上训练，能够自动捕捉数据间的依赖关系，并能对未见过的新数据做出预测。

本课将介绍两种回归类型：基础线性回归_和_多项式回归，并讲解其中的数学原理。这些模型将帮助我们根据不同输入预测南瓜价格。

🎥 点击上方图片观看线性回归的简短视频概览。

在整个课程中，我们假设学生数学基础有限，力求让其他领域的学生也能理解，因此请关注笔记、🧮 数学提示、图表等辅助学习工具。

先决条件

到目前为止，你应该熟悉我们正在研究的南瓜数据结构了。课中的 notebook.ipynb 文件中已经预加载并预处理了数据。文件中每个蒲式耳的南瓜价格展示于新的数据框中。确保你可以在 Visual Studio Code 的内核中运行这些笔记本。

准备工作

提醒一下，你加载数据是为了提出问题。

• 什么时候买南瓜最合适？
• 一箱迷你南瓜价格大概是多少？
• 应该买半蒲式耳篮装，还是1 1/9蒲式耳盒装？ 让我们继续挖掘数据。

上一课你创建了 Pandas 数据框，并填充了部分原始数据，将价格标准化为每蒲式耳价格。但这样你只能获得约400条数据，且仅限秋季月份。

看看本课随附笔记本中预加载的数据。数据已加载，并绘制了月份散点图。或许我们可以通过更深入的数据清洗来了解数据的本质。

线性回归直线

正如第1课所学，线性回归的目标是绘制一条线来：

• 展示变量关系。显示变量之间的关系。
• 进行预测。准确预测新数据点相对于该线的位置。

最小二乘回归通常会绘制这样的线。“最小二乘”指的是最小化模型总误差的过程。对每个数据点，测量其与回归线的垂直距离（称为残差）。

我们平方这些距离主要有两个原因：

1. 大小优先于方向：想让误差-5与+5同等对待，平方将所有值变为正数。

2. 惩罚离群值：平方会给较大误差更高权重，迫使回归线更靠近远离的点。

接着将所有平方值相加。目标是找到使该总和最小的线——这就是“最小二乘”名称的由来。

🧮 看数学表达

这条称为_最佳拟合线_的线可以用方程表达：

Y = a + bX

X 是“自变量”，Y 是“因变量”。斜率为 b，截距为 a，表示 X=0 时的 Y 值。

首先计算斜率 b。信息图作者 Jen Looper

换句话说，对于南瓜数据：“按月份预测南瓜每蒲式耳价格”，X 是价格，Y 是销售月份。

计算 Y 值。如果你付了大约4美元，那一定是4月！信息图作者 Jen Looper

计算公式要展示斜率，还要考虑截距，即当 X=0 时 Y 的位置。

你可以参考 Math is Fun 网站来学习计算方法。还可以访问这个最小二乘计算器观察数字如何影响回归线。

相关性

另一个要理解的术语是给定 X 和 Y 变量之间的相关系数。用散点图可以快速观察这一系数。数据点整齐排列成线的图表相关性高，点散布杂乱无章则相关性低。

好的线性回归模型会有较高的（接近于1而非0）相关系数，采用最小二乘法拟合回归线。

✅ 运行本课的笔记本，看看“月份与价格”的散点图。根据你的视觉判断，这两个变量的南瓜销售价格相关性是高还是低？如果用更细化的度量（如一年中的某一天，即从年初起的天数）替代 Month，相关性会变化吗？

下面的代码假设已清理数据并获得名为 new_pumpkins 的数据框，内容类似：

ID	Month	DayOfYear	Variety	City	Package	Low Price	High Price	Price
70	9	267	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	15.0	15.0	13.636364
71	9	267	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	18.0	18.0	16.363636
72	10	274	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	18.0	18.0	16.363636
73	10	274	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	17.0	17.0	15.454545
74	10	281	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	15.0	15.0	13.636364

清理数据的代码可见于notebook.ipynb中。我们执行了与上一课相同的清理步骤，并用如下表达式计算了 DayOfYear 列：

day_of_year = pd.to_datetime(pumpkins['Date']).apply(lambda dt: (dt-datetime(dt.year,1,1)).days)

既然已理解线性回归背后的数学原理，让我们创建一个回归模型，看看是否能预测哪种南瓜包装的价格最优。想为节日南瓜园采购南瓜的人可能想知道这些信息，以便优化采购计划。

寻找相关性

🎥 点击上方图片观看关于相关性的简短视频。

上一课你可能已经看到，不同月份的平均价格如下图所示：

这说明应存在某种相关性，我们可以试着训练线性回归模型来预测 Month 与 Price 之间，或 DayOfYear 与 Price 之间的关系。以下是价格与一年中日期关系的散点图：

我们用 corr 函数来看看相关性：

print(new_pumpkins['Month'].corr(new_pumpkins['Price']))
print(new_pumpkins['DayOfYear'].corr(new_pumpkins['Price']))

看起来相关性非常小，Month 为 -0.15，DayOfYear 为 -0.17，但可能存在另一种重要关系。不同南瓜品种对应不同价格集群。为确认此假设，我们用不同颜色绘制各品种。通过给 scatter 函数传递 ax 参数，可以在同一图表上绘制所有点：

ax=None
colors = ['red','blue','green','yellow']
for i,var in enumerate(new_pumpkins['Variety'].unique()):
    df = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']==var]
    ax = df.plot.scatter('DayOfYear','Price',ax=ax,c=colors[i],label=var)

调查显示，品种对整体价格的影响大于销售日期。我们用柱状图表示：

new_pumpkins.groupby('Variety')['Price'].mean().plot(kind='bar')

先暂时只关注一种品种——“pie type”，看看日期对价格的影响：

pie_pumpkins = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']=='PIE TYPE']
pie_pumpkins.plot.scatter('DayOfYear','Price') 

若用 corr 函数计算 Price 和 DayOfYear 的相关系数，结果大概为 -0.27，说明训练预测模型是有意义的。

在训练线性回归模型前，务必保证数据干净。线性回归对缺失值不敏感，最合理的做法是去除所有空值：

pie_pumpkins.dropna(inplace=True)
pie_pumpkins.info()

另一种做法是用对应列的均值填充空白值。

简单线性回归

🎥 点击上方图片观看线性回归和多项式回归的简短视频。

我们将使用Scikit-learn库训练线性回归模型。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split

首先，将输入值（特征）和预期输出（标签）分隔成独立的 numpy 数组：

X = pie_pumpkins['DayOfYear'].to_numpy().reshape(-1,1)
y = pie_pumpkins['Price']

注意，我们对输入数据进行了 reshape，以便线性回归库能正确解读。线性回归要求输入为二维数组，数组每行为一组输入特征向量。这里只有一个输入，因此需要形状为 N×1 的数组，N 是数据集大小。

接着，需要将数据分割为训练集和测试集，以便训练后验证模型：

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

最后，训练线性回归模型只需两行代码。定义 LinearRegression 对象，用 fit 方法拟合数据：

lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_train,y_train)

LinearRegression 对象在 fit 之后包含了回归的所有系数，可以通过 .coef_ 属性访问。在我们的例子中，只有一个系数，应该大约是 -0.017。这意味着价格似乎随着时间略有下降，但不多，大约每天降 2 美分。我们还可以通过 lin_reg.intercept_ 访问回归与 Y 轴的截距点——在我们的例子中大约是 21，表示年初的价格。

为了查看模型的准确度，我们可以在测试数据集上预测价格，然后测量预测值与预期值的接近程度。可以使用均方根误差（RMSE）指标，即所有预期值与预测值差值平方的平均值的平方根。

pred = lin_reg.predict(X_test)

rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'RMSE: {rmse:3.3} ({rmse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')

我们的误差大约是 2 点，约为 ~17%。不是很理想。模型质量的另一个指标是决定系数，可以这样获得：

score = lin_reg.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

如果值为 0，表示模型没有考虑输入数据，表现为最差的线性预测器，即结果的均值。值为 1 表示我们可以完美预测所有预期输出。在我们的例子中，系数约为 0.06，相当低。

我们还可以将测试数据和回归线画在一起，更直观地观察回归效果：

plt.scatter(X_test,y_test)
plt.plot(X_test,pred)

多项式回归

另一种线性回归称为多项式回归。有时变量之间存在线性关系——比如，体积越大的南瓜价格越高，但有时这些关系不能用平面或直线表示。

✅ 这里有一些更多示例演示可以使用多项式回归的数据

再看看日期和价格的关系。这个散点图是否必然适合用直线来分析？价格难道不会波动吗？这时可以尝试多项式回归。

✅ 多项式是由一个或多个变量及系数组成的数学表达式

多项式回归创建一条曲线来更好地拟合非线性数据。在我们的例子中，如果在输入数据中加入平方的 DayOfYear 变量，应该可以用抛物线拟合数据，在一年中的某个点达到最低点。

Scikit-learn 包含一个方便的流水线 API来组合不同的数据处理步骤。流水线是由一系列估计器组成的链。在我们的例子中，我们将创建一个流水线，先添加多项式特征，然后训练回归模型：

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline

pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())

pipeline.fit(X_train,y_train)

使用 PolynomialFeatures(2) 意味着包括输入数据中的所有二次多项式。在我们的例子中，这仅表示 DayOfYear 的平方，但如果有两个输入变量 X 和 Y，就会添加 X²、XY 和 Y²。如果需要，也可以使用更高次数的多项式。

流水线可以像原始的 LinearRegression 对象一样使用，即可以 fit 流水线，然后用 predict 获得预测结果。下面是测试数据和拟合曲线的图示：

使用多项式回归，我们可以得到稍低的均方误差和更高的决定系数，但提升不大。我们还需要考虑其他特征！

你可以看到南瓜最低价格出现在万圣节附近。你如何解释这一现象？

🎃 恭喜，你刚刚创建了一个能够帮助预测派皮南瓜价格的模型。你可能会对所有南瓜类型都重复这个过程，但那会很繁琐。接下来我们学习如何在模型中考虑南瓜品种！

类别特征

理想情况下，我们希望用同一个模型预测不同南瓜品种的价格。但 Variety 一栏与 Month 等数值型列不同，它包含的是非数值数据。这类列称为类别特征。

🎥 点击上图观看一个简短视频，介绍如何使用类别特征。

你可以看到平均价格如何根据品种变化：

为了在模型中考虑品种，首先需要对其进行数值化，或称编码。编码有几种方法：

• 简单的数字编码会建立一个品种表，然后用该表中的索引替换品种名称。这对线性回归不是最优，因为线性回归将索引的数值直接参与计算，乘以某个系数后加到结果中。在这里，索引与价格关系明显非线性，即使索引按照特定顺序排列。
• 独热编码会用四个不同的列替换掉 Variety 列，每个对应一个品种。对应品种的列取 1，其他列为 0。这样线性回归会得到四个系数，分别对应四种南瓜品种的“基础价”（或“附加价”）。

下面的代码展示如何对品种进行独热编码：

pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])

ID	FAIRYTALE	MINIATURE	MIXED HEIRLOOM VARIETIES	PIE TYPE
70	0	0	0	1
71	0	0	0	1
...	...	...	...	...
1738	0	1	0	0
1739	0	1	0	0
1740	0	1	0	0
1741	0	1	0	0
1742	0	1	0	0

使用独热编码的品种作为输入训练线性回归，只需正确初始化 X 和 y 数据：

X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
y = new_pumpkins['Price']

其余代码与之前训练线性回归时相同。你尝试后会发现均方误差差不多，但决定系数大大提升到 ~77%。为了得到更精准的预测，可以同时考虑更多类别特征和数值特征，比如 Month 或 DayOfYear。要合并成一个大特征数组，可以使用 join：

X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
        .join(new_pumpkins['Month']) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']

这里还考虑了 City 和 Package 类型，最后得到均方误差 2.84（10%），决定系数 0.94！

综合应用

为了做出最佳模型，我们可以结合上述例子中独热编码的类别特征和数值特征，再使用多项式回归。以下是完整代码，供你方便使用：

# 设置训练数据
X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
        .join(new_pumpkins['Month']) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']

# 进行训练-测试集划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

# 设置并训练流水线
pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
pipeline.fit(X_train,y_train)

# 预测测试数据结果
pred = pipeline.predict(X_test)

# 计算均方误差和决定系数
mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')

score = pipeline.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

这应该能达到接近 97% 的最高决定系数，均方误差为 2.23（约 8% 预测误差）。

模型	MSE	决定系数
DayOfYear 线性回归	2.77 (17.2%)	0.07
DayOfYear 多项式回归	2.73 (17.0%)	0.08
Variety 线性回归	5.24 (19.7%)	0.77
所有特征 线性回归	2.84 (10.5%)	0.94
所有特征 多项式回归	2.23 (8.25%)	0.97

🏆 干得好！你在一节课中创建了四个回归模型，并将模型质量提升到了 97%。回归的最后一节课中，你将学习用逻辑回归确定类别。

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🚀挑战

尝试本笔记本中的几个不同变量，观察它们的相关性如何影响模型准确度。

课后小测

复习与自学

本课我们学习了线性回归。还有其他重要的回归类型。请学习逐步回归、岭回归、套索回归和弹性网方法。推荐课程：斯坦福统计学习课程

作业

建立模型

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