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CO_OP_TRANSLATOR_METADATA:
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{
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"original_hash": "40e64f004f3cb50aa1d8661672d3cd92",
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"translation_date": "2025-09-05T09:15:04+00:00",
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"source_file": "2-Regression/3-Linear/README.md",
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"language_code": "hk"
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}
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# 使用 Scikit-learn 建立回歸模型：四種回歸方法
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> 資訊圖表由 [Dasani Madipalli](https://twitter.com/dasani_decoded) 製作
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## [課前測驗](https://ff-quizzes.netlify.app/en/ml/)
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> ### [本課程也提供 R 版本！](../../../../2-Regression/3-Linear/solution/R/lesson_3.html)
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### 簡介
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到目前為止，你已經透過南瓜價格數據集的樣本數據了解了什麼是回歸，並使用 Matplotlib 進行了可視化。
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現在，你準備深入了解機器學習中的回歸。雖然可視化可以幫助你理解數據，但機器學習的真正力量來自於 _訓練模型_。模型基於歷史數據進行訓練，能夠自動捕捉數據之間的依賴關係，並幫助你預測模型未曾見過的新數據的結果。
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在本課程中，你將深入了解兩種回歸方法：_基本線性回歸_ 和 _多項式回歸_，以及這些技術背後的一些數學原理。這些模型將幫助我們根據不同的輸入數據預測南瓜的價格。
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[](https://youtu.be/CRxFT8oTDMg "機器學習初學者 - 理解線性回歸")
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> 🎥 點擊上方圖片觀看線性回歸的簡短視頻概述。
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> 在整個課程中，我們假設學生的數學知識有限，並努力使內容對來自其他領域的學生易於理解，因此請留意筆記、🧮 數學提示、圖表以及其他學習工具以幫助理解。
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### 前置條件
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到目前為止，你應該已熟悉我們正在研究的南瓜數據的結構。你可以在本課程的 _notebook.ipynb_ 文件中找到預加載和預清理的數據。在文件中，南瓜的價格以每蒲式耳顯示在一個新的數據框中。請確保你能在 Visual Studio Code 的內核中運行這些筆記本。
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### 準備工作
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提醒一下，你正在加載這些數據以便提出問題：
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- 什麼時候是購買南瓜的最佳時機？
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- 我可以預期一箱迷你南瓜的價格是多少？
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- 我應該購買半蒲式耳籃子還是 1 1/9 蒲式耳的箱子？
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讓我們繼續深入挖掘這些數據。
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在上一課中，你創建了一個 Pandas 數據框，並用原始數據集的一部分填充它，將價格標準化為每蒲式耳。然而，通過這樣做，你只能收集到大約 400 個數據點，而且僅限於秋季月份。
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查看本課程附帶的筆記本中預加載的數據。數據已預加載，並繪製了一個初步的散點圖以顯示月份數據。也許通過進一步清理數據，我們可以更詳細地了解數據的性質。
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## 線性回歸線
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正如你在第一課中所學，線性回歸的目標是能夠繪製一條線以：
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- **顯示變量關係**。顯示變量之間的關係
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- **進行預測**。準確預測新數據點在該線上的位置
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通常使用 **最小二乘回歸** 來繪製這種類型的線。'最小二乘' 的意思是回歸線周圍的所有數據點的距離平方後相加。理想情況下，最終的總和應該盡可能小，因為我們希望誤差數量低，即 `最小二乘`。
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我們這樣做是因為我們希望建模一條線，使其與所有數據點的累積距離最小。我們還會在相加之前對項進行平方，因為我們關心的是其大小而不是方向。
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> **🧮 數學展示**
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> 這條線，稱為 _最佳擬合線_，可以用 [一個方程](https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_linear_regression) 表示：
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> ```
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> Y = a + bX
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> ```
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> `X` 是 '解釋變量'，`Y` 是 '依賴變量'。線的斜率是 `b`，而 `a` 是 y 截距，指的是當 `X = 0` 時 `Y` 的值。
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>
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>
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>
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> 首先，計算斜率 `b`。資訊圖表由 [Jen Looper](https://twitter.com/jenlooper) 製作
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> 換句話說，參考我們南瓜數據的原始問題："根據月份預測每蒲式耳南瓜的價格"，`X` 代表價格，`Y` 代表銷售月份。
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>
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>
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>
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> 計算 Y 的值。如果你支付大約 $4，那一定是四月！資訊圖表由 [Jen Looper](https://twitter.com/jenlooper) 製作
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>
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> 計算這條線的數學必須展示線的斜率，這也取決於截距，即當 `X = 0` 時 `Y` 的位置。
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>
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> 你可以在 [Math is Fun](https://www.mathsisfun.com/data/least-squares-regression.html) 網站上觀察這些值的計算方法。也可以訪問 [這個最小二乘計算器](https://www.mathsisfun.com/data/least-squares-calculator.html) 來查看數值如何影響線。
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## 相關性
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另一個需要理解的術語是 **相關係數**，即給定 X 和 Y 變量之間的相關性。使用散點圖，你可以快速可視化這個係數。數據點整齊排列成一條線的圖表具有高相關性，而數據點在 X 和 Y 之間隨意分佈的圖表則具有低相關性。
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一個好的線性回歸模型應該使用最小二乘回歸方法，並且回歸線的相關係數應該接近 1（而非 0）。
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✅ 運行本課程附帶的筆記本，查看月份與價格的散點圖。根據你的視覺解讀，南瓜銷售的月份與價格之間的數據是否具有高或低相關性？如果你使用更精細的度量（例如 *一年中的天數*，即自年初以來的天數），結果是否會有所改變？
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在下面的代碼中，我們假設已清理數據，並獲得了一個名為 `new_pumpkins` 的數據框，類似於以下內容：
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ID | Month | DayOfYear | Variety | City | Package | Low Price | High Price | Price
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---|-------|-----------|---------|------|---------|-----------|------------|-------
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70 | 9 | 267 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 15.0 | 15.0 | 13.636364
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71 | 9 | 267 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 18.0 | 18.0 | 16.363636
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72 | 10 | 274 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 18.0 | 18.0 | 16.363636
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73 | 10 | 274 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 17.0 | 17.0 | 15.454545
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74 | 10 | 281 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 15.0 | 15.0 | 13.636364
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> 清理數據的代碼可在 [`notebook.ipynb`](../../../../2-Regression/3-Linear/notebook.ipynb) 中找到。我們執行了與上一課相同的清理步驟，並使用以下表達式計算了 `DayOfYear` 列：
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```python
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day_of_year = pd.to_datetime(pumpkins['Date']).apply(lambda dt: (dt-datetime(dt.year,1,1)).days)
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```
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現在你已經了解了線性回歸背後的數學原理，讓我們建立一個回歸模型，看看是否可以預測哪種南瓜包裝的價格最划算。想要為節日南瓜田購買南瓜的人可能需要這些信息，以便優化南瓜包裝的購買。
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## 尋找相關性
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[](https://youtu.be/uoRq-lW2eQo "機器學習初學者 - 尋找相關性：線性回歸的關鍵")
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> 🎥 點擊上方圖片觀看相關性的簡短視頻概述。
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從上一課中，你可能已經看到不同月份的平均價格如下所示：
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<img alt="按月份的平均價格" src="../2-Data/images/barchart.png" width="50%"/>
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這表明應該存在某種相關性，我們可以嘗試訓練線性回歸模型來預測 `Month` 與 `Price` 或 `DayOfYear` 與 `Price` 之間的關係。以下是顯示後者關係的散點圖：
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<img alt="價格與一年中的天數的散點圖" src="images/scatter-dayofyear.png" width="50%" />
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讓我們使用 `corr` 函數檢查是否存在相關性：
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```python
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print(new_pumpkins['Month'].corr(new_pumpkins['Price']))
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print(new_pumpkins['DayOfYear'].corr(new_pumpkins['Price']))
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```
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看起來相關性非常小，`Month` 為 -0.15，`DayOfYear` 為 -0.17，但可能存在另一個重要的關係。看起來不同的南瓜品種對價格的影響更大。為了確認這一假設，讓我們使用不同的顏色繪製每個南瓜品種。通過向 `scatter` 繪圖函數傳遞 `ax` 參數，我們可以將所有點繪製在同一圖表上：
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```python
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ax=None
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colors = ['red','blue','green','yellow']
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for i,var in enumerate(new_pumpkins['Variety'].unique()):
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df = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']==var]
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ax = df.plot.scatter('DayOfYear','Price',ax=ax,c=colors[i],label=var)
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```
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<img alt="價格與一年中的天數的散點圖" src="images/scatter-dayofyear-color.png" width="50%" />
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我們的調查表明，品種對整體價格的影響比實際銷售日期更大。我們可以通過柱狀圖看到這一點：
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```python
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new_pumpkins.groupby('Variety')['Price'].mean().plot(kind='bar')
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```
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<img alt="價格與品種的柱狀圖" src="images/price-by-variety.png" width="50%" />
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讓我們暫時只關注一種南瓜品種，即 'pie type'，看看日期對價格有什麼影響：
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```python
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pie_pumpkins = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']=='PIE TYPE']
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pie_pumpkins.plot.scatter('DayOfYear','Price')
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```
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<img alt="價格與一年中的天數的散點圖" src="images/pie-pumpkins-scatter.png" width="50%" />
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如果我們現在使用 `corr` 函數計算 `Price` 與 `DayOfYear` 的相關性，我們會得到類似 `-0.27` 的結果——這意味著訓練一個預測模型是有意義的。
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> 在訓練線性回歸模型之前，確保數據清理是很重要的。線性回歸對缺失值的處理效果不佳，因此有必要刪除所有空單元格：
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```python
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pie_pumpkins.dropna(inplace=True)
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pie_pumpkins.info()
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```
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另一種方法是用相應列的平均值填充這些空值。
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## 簡單線性回歸
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[](https://youtu.be/e4c_UP2fSjg "機器學習初學者 - 使用 Scikit-learn 進行線性和多項式回歸")
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> 🎥 點擊上方圖片觀看線性和多項式回歸的簡短視頻概述。
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為了訓練我們的線性回歸模型，我們將使用 **Scikit-learn** 庫。
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```python
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from sklearn.linear_model import LinearRegression
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from sklearn.metrics import mean_squared_error
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from sklearn.model_selection import train_test_split
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```
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首先，我們將輸入值（特徵）和預期輸出（標籤）分離到不同的 numpy 陣列中：
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```python
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X = pie_pumpkins['DayOfYear'].to_numpy().reshape(-1,1)
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y = pie_pumpkins['Price']
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```
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> 注意，我們需要對輸入數據進行 `reshape`，以便線性回歸包能正確理解它。線性回歸需要一個 2D 陣列作為輸入，其中陣列的每一行對應於輸入特徵的向量。在我們的情況下，由於我們只有一個輸入——我們需要一個形狀為 N×1 的陣列，其中 N 是數據集的大小。
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接著，我們需要將數據分為訓練集和測試集，以便在訓練後驗證模型：
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```python
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X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
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```
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最後，訓練實際的線性回歸模型只需要兩行代碼。我們定義 `LinearRegression` 對象，並使用 `fit` 方法將其擬合到數據上：
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```python
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lin_reg = LinearRegression()
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lin_reg.fit(X_train,y_train)
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```
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`LinearRegression` 對象在 `fit` 後包含所有回歸係數，可以通過 `.coef_` 屬性訪問。在我們的情況下，只有一個係數，應該大約是 `-0.017`。這意味著價格似乎隨時間略有下降，但幅度不大，每天大約下降 2 美分。我們還可以使用 `lin_reg.intercept_` 訪問回歸線與 Y 軸的交點——在我們的情況下，大約是 `21`，表示年初的價格。
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為了查看模型的準確性，我們可以在測試數據集上預測價格，然後測量預測值與預期值的接近程度。這可以使用均方誤差（MSE）指標完成，均方誤差是所有預期值與預測值之間平方差的平均值。
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```python
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pred = lin_reg.predict(X_test)
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mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
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print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')
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```
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我們的錯誤似乎集中在兩個點上，約佔 17%。表現不太理想。另一個衡量模型質量的指標是 **決定係數**，可以通過以下方式獲得：
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```python
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score = lin_reg.score(X_train,y_train)
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print('Model determination: ', score)
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```
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如果值為 0，表示模型未考慮輸入數據，並充當*最差的線性預測器*，即僅僅是結果的平均值。值為 1 則表示我們可以完美地預測所有期望的輸出。在我們的情況下，決定係數約為 0.06，這相當低。
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我們還可以繪製測試數據與回歸線，以更好地了解回歸在我們的情況下是如何工作的：
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```python
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plt.scatter(X_test,y_test)
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plt.plot(X_test,pred)
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```
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<img alt="線性回歸" src="images/linear-results.png" width="50%" />
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## 多項式回歸
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另一種線性回歸是多項式回歸。有時候，變量之間存在線性關係，例如南瓜的體積越大，價格越高；但有時候這些關係無法用平面或直線來表示。
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✅ 這裡有[一些更多的例子](https://online.stat.psu.edu/stat501/lesson/9/9.8)，展示了可以使用多項式回歸的數據。
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再看看日期與價格之間的關係。這個散點圖看起來是否一定要用直線來分析？價格是否可能波動？在這種情況下，你可以嘗試使用多項式回歸。
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✅ 多項式是可能包含一個或多個變量和係數的數學表達式。
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多項式回歸會創建一條曲線，以更好地擬合非線性數據。在我們的情況下，如果在輸入數據中加入平方的 `DayOfYear` 變量，我們應該能用一條拋物線來擬合數據，該拋物線在一年中的某個點會有一個最低值。
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Scikit-learn 提供了一個有用的 [pipeline API](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.pipeline.make_pipeline.html?highlight=pipeline#sklearn.pipeline.make_pipeline)，可以將不同的數據處理步驟結合在一起。**管道**是一系列的**估算器**。在我們的情況下，我們將創建一個管道，首先向模型添加多項式特徵，然後訓練回歸：
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```python
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from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
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from sklearn.pipeline import make_pipeline
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pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
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pipeline.fit(X_train,y_train)
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```
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使用 `PolynomialFeatures(2)` 表示我們將包含輸入數據中的所有二次多項式。在我們的情況下，這僅意味著 `DayOfYear`<sup>2</sup>，但如果有兩個輸入變量 X 和 Y，這將添加 X<sup>2</sup>、XY 和 Y<sup>2</sup>。如果需要，我們也可以使用更高次的多項式。
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管道可以像原始的 `LinearRegression` 對象一樣使用，例如我們可以 `fit` 管道，然後使用 `predict` 獲得預測結果。以下是顯示測試數據和近似曲線的圖表：
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<img alt="多項式回歸" src="images/poly-results.png" width="50%" />
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使用多項式回歸，我們可以獲得稍低的 MSE 和稍高的決定係數，但提升並不顯著。我們需要考慮其他特徵！
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> 你可以看到南瓜價格最低點大約出現在萬聖節附近。你如何解釋這一現象？
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🎃 恭喜！你剛剛創建了一個可以幫助預測南瓜派價格的模型。你可能可以對所有南瓜類型重複相同的過程，但這樣會很繁瑣。現在讓我們學習如何在模型中考慮南瓜品種！
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## 類別特徵
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在理想情況下，我們希望能夠使用同一模型來預測不同南瓜品種的價格。然而，`Variety` 列與 `Month` 等列有所不同，因為它包含非數值值。這類列被稱為**類別特徵**。
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[](https://youtu.be/DYGliioIAE0 "初學者的機器學習 - 使用線性回歸進行類別特徵預測")
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> 🎥 點擊上方圖片觀看有關使用類別特徵的簡短視頻概述。
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以下是平均價格如何隨品種變化的圖表：
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<img alt="按品種劃分的平均價格" src="images/price-by-variety.png" width="50%" />
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為了考慮品種，我們首先需要將其轉換為數值形式，或者**編碼**。有幾種方法可以做到：
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* 簡單的**數值編碼**會建立一個不同品種的表，然後用表中的索引替換品種名稱。這對於線性回歸來說不是最好的方法，因為線性回歸會將索引的實際數值加到結果中，並乘以某個係數。在我們的情況下，索引號與價格之間的關係顯然是非線性的，即使我們確保索引按某種特定方式排序。
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* **獨熱編碼**會用 4 個不同的列替換 `Variety` 列，每個列代表一個品種。如果某行屬於某品種，該列會包含 `1`，否則為 `0`。這意味著線性回歸中會有四個係數，每個南瓜品種一個，負責該品種的“起始價格”（或“附加價格”）。
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以下代碼展示了如何對品種進行獨熱編碼：
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```python
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pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
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```
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ID | FAIRYTALE | MINIATURE | MIXED HEIRLOOM VARIETIES | PIE TYPE
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----|-----------|-----------|--------------------------|----------
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70 | 0 | 0 | 0 | 1
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71 | 0 | 0 | 0 | 1
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... | ... | ... | ... | ...
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1738 | 0 | 1 | 0 | 0
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|
1739 | 0 | 1 | 0 | 0
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|
1740 | 0 | 1 | 0 | 0
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|
|
1741 | 0 | 1 | 0 | 0
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1742 | 0 | 1 | 0 | 0
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要使用獨熱編碼的品種作為輸入訓練線性回歸，我們只需要正確初始化 `X` 和 `y` 數據：
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```python
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X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
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y = new_pumpkins['Price']
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```
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其餘代碼與我們之前用於訓練線性回歸的代碼相同。如果你嘗試一下，你會發現均方誤差差不多，但我們的決定係數大幅提高（約 77%）。為了獲得更準確的預測，我們可以考慮更多的類別特徵，以及數值特徵，例如 `Month` 或 `DayOfYear`。要獲得一個大的特徵數組，我們可以使用 `join`：
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```python
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X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
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.join(new_pumpkins['Month']) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
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|
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
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y = new_pumpkins['Price']
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這裡我們還考慮了 `City` 和 `Package` 類型，這使得 MSE 降至 2.84（10%），決定係數提高到 0.94！
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## 整合所有內容
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為了創建最佳模型，我們可以使用上述示例中的綜合數據（獨熱編碼的類別特徵 + 數值特徵）以及多項式回歸。以下是完整代碼供你參考：
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```python
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# set up training data
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X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
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.join(new_pumpkins['Month']) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
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.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
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y = new_pumpkins['Price']
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# make train-test split
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X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
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# setup and train the pipeline
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pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
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pipeline.fit(X_train,y_train)
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# predict results for test data
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pred = pipeline.predict(X_test)
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# calculate MSE and determination
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mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
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print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')
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score = pipeline.score(X_train,y_train)
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print('Model determination: ', score)
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這應該能讓我們的決定係數達到接近 97%，MSE=2.23（約 8% 的預測誤差）。
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| 模型 | MSE | 決定係數 |
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| `DayOfYear` 線性 | 2.77 (17.2%) | 0.07 |
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| `DayOfYear` 多項式 | 2.73 (17.0%) | 0.08 |
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| `Variety` 線性 | 5.24 (19.7%) | 0.77 |
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| 所有特徵線性 | 2.84 (10.5%) | 0.94 |
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| 所有特徵多項式 | 2.23 (8.25%) | 0.97 |
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🏆 做得好！你在一節課中創建了四個回歸模型，並將模型質量提高到 97%。在回歸的最後一部分中，你將學習如何使用邏輯回歸來確定類別。
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## 🚀挑戰
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在此筆記本中測試幾個不同的變量，看看相關性如何影響模型準確性。
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## [課後測驗](https://ff-quizzes.netlify.app/en/ml/)
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## 回顧與自學
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在本課中，我們學習了線性回歸。還有其他重要的回歸類型。閱讀有關逐步回歸、嶺回歸、套索回歸和彈性網回歸技術的資料。一門值得學習的課程是 [斯坦福統計學習課程](https://online.stanford.edu/courses/sohs-ystatslearning-statistical-learning)。
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## 作業
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[建立模型](assignment.md)
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