Data-Science-For-Beginners/translations/fi/1-Introduction/04-stats-and-probability

Tilastotiede ja todennäköisyys: Lyhyt johdanto

Tilastotiede ja todennäköisyys - Sketchnote by @nitya

Tilastotiede ja todennäköisyysteoria ovat kaksi läheisesti liittyvää matematiikan osa-aluetta, jotka ovat erittäin tärkeitä datatieteessä. Vaikka dataa voi käsitellä ilman syvällistä matematiikan tuntemusta, on silti hyödyllistä ymmärtää ainakin peruskäsitteet. Tässä esittelemme lyhyen johdannon, joka auttaa sinua pääsemään alkuun.

Esiluentovisa

Todennäköisyys ja satunnaismuuttujat

Todennäköisyys on luku välillä 0 ja 1, joka ilmaisee, kuinka todennäköinen jokin tapahtuma on. Se määritellään positiivisten lopputulosten (jotka johtavat tapahtumaan) lukumääränä jaettuna kaikkien mahdollisten lopputulosten lukumäärällä, olettaen että kaikki lopputulokset ovat yhtä todennäköisiä. Esimerkiksi, kun heitämme noppaa, todennäköisyys saada parillinen luku on 3/6 = 0,5.

Kun puhumme tapahtumista, käytämme satunnaismuuttujia. Esimerkiksi satunnaismuuttuja, joka edustaa nopanheiton tulosta, voi saada arvoja 1–6. Lukuja 1–6 kutsutaan otosavaruudeksi. Voimme puhua todennäköisyydestä, että satunnaismuuttuja saa tietyn arvon, esimerkiksi P(X=3)=1/6.

Edellä mainittu satunnaismuuttuja on diskreetti, koska sen otosavaruus on laskettavissa, eli siinä on erillisiä arvoja, jotka voidaan luetella. On myös tapauksia, joissa otosavaruus on reaaliarvojen väli tai koko reaaliarvojen joukko. Tällaisia muuttujia kutsutaan jatkuviksi. Hyvä esimerkki on bussin saapumisaika.

Todennäköisyysjakauma

Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa on helppo kuvata kunkin tapahtuman todennäköisyys funktiolla P(X). Jokaiselle otosavaruuden S arvolle s se antaa luvun välillä 0 ja 1 siten, että kaikkien tapahtumien P(X=s) arvojen summa on 1.

Tunnetuin diskreetti jakauma on tasajakauma, jossa otosavaruudessa on N alkiota, ja jokaisella niistä on yhtä suuri todennäköisyys 1/N.

Jatkuvan muuttujan todennäköisyysjakauman kuvaaminen on vaikeampaa, kun arvot ovat peräisin jostakin välistä [a,b] tai koko reaaliarvojen joukosta ℝ. Mietitään esimerkiksi bussin saapumisaikaa. Itse asiassa todennäköisyys, että bussi saapuu tarkalleen tiettynä aikana t, on 0!

Nyt tiedät, että tapahtumat, joiden todennäköisyys on 0, tapahtuvat – ja vieläpä usein! Ainakin aina, kun bussi saapuu!

Voimme puhua vain todennäköisyydestä, että muuttuja osuu tietylle arvojen välille, esim. P(t₁≤X<t₂). Tässä tapauksessa todennäköisyysjakauma kuvataan tiheysfunktiolla p(x), siten että

Jatkuvan tasajakauman analogia on jatkuva tasajakauma, joka määritellään äärelliselle välille. Todennäköisyys, että arvo X osuu pituudeltaan l olevaan väliin, on verrannollinen l:n pituuteen ja kasvaa arvoon 1.

Toinen tärkeä jakauma on normaalijakauma, josta puhumme tarkemmin myöhemmin.

Keskiarvo, varianssi ja keskihajonta

Oletetaan, että otamme n näytettä satunnaismuuttujasta X: x₁, x₂, ..., x_n. Voimme määritellä keskiarvon (tai aritmeettisen keskiarvon) perinteisellä tavalla: (x₁+x₂+...+x_n)/n. Kun kasvatamme otoksen kokoa (eli otamme rajan n→∞), saamme jakauman keskiarvon (jota kutsutaan myös odotusarvoksi). Merkitsemme odotusarvoa E(x).

On osoitettavissa, että mille tahansa diskreetille jakaumalle, jonka arvot ovat {x₁, x₂, ..., x_N} ja vastaavat todennäköisyydet p₁, p₂, ..., p_N, odotusarvo on E(X)=x₁p₁+x₂p₂+...+x_Np_N.

Arvojen hajonnan määrittämiseksi voimme laskea varianssin σ² = ∑(x_i - μ)²/n, missä μ on otoksen keskiarvo. Arvoa σ kutsutaan keskihajonnaksi, ja σ² on varianssi.

Moodi, mediaani ja kvartiilit

Joskus keskiarvo ei kuvaa riittävästi "tyypillistä" arvoa datassa. Esimerkiksi, jos datassa on muutamia äärimmäisiä arvoja, jotka ovat täysin poikkeavia, ne voivat vaikuttaa keskiarvoon. Hyvä vaihtoehtoinen mittari on mediaani, arvo, jonka alapuolella on puolet datan arvoista ja yläpuolella toinen puoli.

Datan jakauman ymmärtämiseksi on hyödyllistä puhua kvartiileista:

• Ensimmäinen kvartiili eli Q1 on arvo, jonka alapuolella on 25 % datasta
• Kolmas kvartiili eli Q3 on arvo, jonka alapuolella on 75 % datasta

Graafisesti voimme esittää mediaanin ja kvartiilien suhteen diagrammissa, jota kutsutaan laatikko- ja viiksikaavioksi:

Tässä laskemme myös kvartiilivälin IQR=Q3-Q1 ja niin sanotut poikkeamat – arvot, jotka ovat alueen [Q1-1.5IQR, Q3+1.5IQR] ulkopuolella.

Pienelle diskreetille jakaumalle, jossa on vain vähän mahdollisia arvoja, hyvä "tyypillinen" arvo on yleisin arvo, jota kutsutaan moodiksi. Moodia käytetään usein kategorisessa datassa, kuten väreissä. Kuvitellaan tilanne, jossa on kaksi ihmisryhmää – toiset suosivat vahvasti punaista ja toiset sinistä. Jos koodaisimme värit numeroilla, suosikkivärin keskiarvo olisi jossain oranssin ja vihreän välillä, mikä ei kuvasta kummankaan ryhmän todellista mieltymystä. Moodi sen sijaan olisi joko punainen tai sininen, tai molemmat, jos molempien värien kannattajia on yhtä paljon (tässä tapauksessa otosta kutsutaan monimodaaliseksi).

Reaaliaikainen data

Kun analysoimme tosielämän dataa, ne eivät usein ole varsinaisia satunnaismuuttujia siinä mielessä, että emme suorita kokeita tuntemattomilla tuloksilla. Esimerkiksi, jos tarkastelemme baseball-pelaajien joukkueen kehon mittoja, kuten pituutta, painoa ja ikää, nämä luvut eivät ole täysin satunnaisia, mutta voimme silti soveltaa samoja matemaattisia käsitteitä. Esimerkiksi ihmisten painojen sarjaa voidaan pitää satunnaismuuttujan arvojen sarjana. Alla on sarja painoja todellisilta baseball-pelaajilta Major League Baseballista, otettuna tästä datasetistä (mukavuussyistä vain ensimmäiset 20 arvoa on näytetty):

[180.0, 215.0, 210.0, 210.0, 188.0, 176.0, 209.0, 200.0, 231.0, 180.0, 188.0, 180.0, 185.0, 160.0, 180.0, 185.0, 197.0, 189.0, 185.0, 219.0]

Huomio: Katso esimerkki tämän datasetin käsittelystä liitteenä olevasta muistikirjasta. Tässä oppitunnissa on myös useita haasteita, jotka voit suorittaa lisäämällä koodia muistikirjaan. Jos et ole varma, miten dataa käsitellään, älä huoli – palaamme datan käsittelyyn Pythonilla myöhemmin. Jos et tiedä, miten suorittaa koodia Jupyter Notebookissa, katso tämä artikkeli.

Tässä on laatikko- ja viiksikaavio, joka näyttää datamme keskiarvon, mediaanin ja kvartiilit:

Koska datamme sisältää tietoa eri pelaajien rooleista, voimme myös tehdä laatikko- ja viiksikaavion roolin mukaan – tämä antaa käsityksen siitä, miten parametrien arvot vaihtelevat roolien välillä. Tällä kertaa tarkastelemme pituutta:

Tämä diagrammi viittaa siihen, että ensimmäisen pesämiehen keskimääräinen pituus on suurempi kuin toisen pesämiehen. Myöhemmin tässä oppitunnissa opimme, kuinka voimme testata tätä hypoteesia muodollisemmin ja osoittaa, että datamme on tilastollisesti merkittävää tämän osoittamiseksi.

Kun työskentelemme tosielämän datan kanssa, oletamme, että kaikki datapisteet ovat otoksia jostakin todennäköisyysjakaumasta. Tämä oletus mahdollistaa koneoppimistekniikoiden soveltamisen ja toimivien ennustemallien rakentamisen.

Jotta voimme nähdä, millainen datamme jakauma on, voimme piirtää kaavion, jota kutsutaan histogrammiksi. X-akselilla on eri painovälien lukumäärä (niin sanotut bin-arvot), ja pystyakselilla näytetään, kuinka monta kertaa satunnaismuuttujan otos osui tiettyyn väliin.

Tästä histogrammista näet, että kaikki arvot keskittyvät tietyn keskipainon ympärille, ja mitä kauemmas keskipainosta mennään, sitä harvemmin kyseisen painon arvoja esiintyy. Toisin sanoen on hyvin epätodennäköistä, että baseball-pelaajan paino poikkeaisi merkittävästi keskipainosta. Painojen varianssi osoittaa, kuinka paljon painot todennäköisesti eroavat keskiarvosta.

Jos ottaisimme painoja muilta ihmisiltä, jotka eivät kuulu baseball-liigaan, jakauma olisi todennäköisesti erilainen. Jakauman muoto olisi kuitenkin sama, mutta keskiarvo ja varianssi muuttuisivat. Jos siis koulutamme mallimme baseball-pelaajilla, se todennäköisesti antaa vääriä tuloksia, kun sitä sovelletaan esimerkiksi yliopisto-opiskelijoihin, koska taustalla oleva jakauma on erilainen.

Normaalijakauma

Painojen jakauma, jonka näimme yllä, on hyvin tyypillinen, ja monet tosielämän mittaukset noudattavat samaa jakaumatyyppiä, mutta eri keskiarvolla ja varianssilla. Tätä jakaumaa kutsutaan normaalijakaumaksi, ja sillä on erittäin tärkeä rooli tilastotieteessä.

Normaalijakauman käyttäminen on oikea tapa luoda satunnaisia painoja mahdollisille baseball-pelaajille. Kun tiedämme keskipainon mean ja keskihajonnan std, voimme luoda 1000 painonäytettä seuraavasti:

samples = np.random.normal(mean,std,1000)

Jos piirrämme histogrammin luoduista näytteistä, näemme kuvan, joka on hyvin samanlainen kuin yllä oleva. Ja jos lisäämme näytteiden ja binien määrää, voimme luoda normaalijakauman kuvan, joka on lähempänä ideaalia:

Normaalijakauma, keskiarvo=0 ja keskihajonta=1

Luottamusvälit

Kun puhumme baseball-pelaajien painoista, oletamme, että on olemassa tietty satunnaismuuttuja W, joka vastaa painojen ideaalista todennäköisyysjakaumaa kaikille baseball-pelaajille (niin sanottu populaatio). Painojemme sarja vastaa otosta kaikista baseball-pelaajista, jota kutsumme otokseksi. Mielenkiintoinen kysymys on, voimmeko tietää W:n jakauman parametrit, eli populaation keskiarvon ja varianssin?

Helpoin vastaus olisi laskea otoksen keskiarvo ja varianssi. Kuitenkin voi käydä niin, että satunnainen otoksemme ei tarkasti edusta koko populaatiota. Siksi on järkevää puhua luottamusvälistä.

Luottamusväli on arvio populaation todellisesta keskiarvosta otoksemme perusteella, ja se on tarkka tietyllä todennäköisyydellä (tai luottamustasolla).

Oletetaan, että meillä on otos X...

1, ..., X_n otoksestamme. Joka kerta, kun otamme otoksen jakaumastamme, saamme eri keskiarvon μ. Näin ollen μ voidaan pitää satunnaismuuttujana. Luottamusväli luottamustasolla p on arvojen pari (L_p,R_p), siten että P(L_p≤μ≤R_p) = p, eli todennäköisyys, että mitattu keskiarvo osuu välin sisään, on p.

On tämän lyhyen johdannon ulkopuolella käsitellä yksityiskohtaisesti, miten nämä luottamusvälit lasketaan. Lisätietoja löytyy Wikipediasta. Lyhyesti sanottuna määrittelemme lasketun otoskeskiarvon jakauman suhteessa populaation todelliseen keskiarvoon, jota kutsutaan Studentin jakaumaksi.

Mielenkiintoinen fakta: Studentin jakauma on nimetty matemaatikko William Sealy Gossetin mukaan, joka julkaisi tutkimuksensa salanimellä "Student". Hän työskenteli Guinnessin panimossa, ja erään version mukaan hänen työnantajansa ei halunnut yleisön tietävän, että he käyttivät tilastollisia testejä raaka-aineiden laadun määrittämiseen.

Jos haluamme arvioida populaation keskiarvon μ luottamustasolla p, meidän on otettava (1-p)/2-prosenttipiste Studentin jakaumasta A, joka voidaan joko hakea taulukoista tai laskea tilasto-ohjelmistojen sisäänrakennetuilla funktioilla (esim. Python, R jne.). Tällöin μ:n väli olisi X±A*D/√n, missä X on otoksen saatu keskiarvo ja D on keskihajonta.

Huomio: Ohitamme myös tärkeän käsitteen vapausasteet, joka on merkityksellinen Studentin jakauman yhteydessä. Voit perehtyä syvällisemmin tähän käsitteeseen täydellisemmistä tilastotieteen kirjoista.

Esimerkki painojen ja pituuksien luottamusvälin laskemisesta löytyy liitteenä olevista muistikirjoista.

p	Painon keskiarvo
0.85	201.73±0.94
0.90	201.73±1.08
0.95	201.73±1.28

Huomaa, että mitä korkeampi luottamustodennäköisyys, sitä laajempi luottamusväli.

Hypoteesin testaus

Baseball-pelaajien aineistossamme on erilaisia pelaajarooleja, jotka voidaan tiivistää seuraavasti (katso liitteenä oleva muistikirja, miten tämä taulukko on laskettu):

Rooli	Pituus	Paino	Lukumäärä
Catcher	72.723684	204.328947	76
Designated_Hitter	74.222222	220.888889	18
First_Baseman	74.000000	213.109091	55
Outfielder	73.010309	199.113402	194
Relief_Pitcher	74.374603	203.517460	315
Second_Baseman	71.362069	184.344828	58
Shortstop	71.903846	182.923077	52
Starting_Pitcher	74.719457	205.163636	221
Third_Baseman	73.044444	200.955556	45

Voimme huomata, että ensimmäisten basemenien keskipituus on suurempi kuin toisten basemenien. Näin ollen voimme olla taipuvaisia päättelemään, että ensimmäiset basemenit ovat pidempiä kuin toiset basemenit.

Tätä väitettä kutsutaan hypoteesiksi, koska emme tiedä, onko se tosiasiallisesti totta vai ei.

Kuitenkin ei ole aina ilmeistä, voimmeko tehdä tämän johtopäätöksen. Kuten edellä keskustelimme, jokaisella keskiarvolla on siihen liittyvä luottamusväli, ja näin ollen tämä ero voi olla vain tilastollinen virhe. Tarvitsemme muodollisemman tavan testata hypoteesimme.

Lasketaan luottamusvälit erikseen ensimmäisten ja toisten basemenien pituuksille:

Luottamus	Ensimmäiset basemenit	Toiset basemenit
0.85	73.62..74.38	71.04..71.69
0.90	73.56..74.44	70.99..71.73
0.95	73.47..74.53	70.92..71.81

Voimme nähdä, että missään luottamustasossa välit eivät mene päällekkäin. Tämä todistaa hypoteesimme, että ensimmäiset basemenit ovat pidempiä kuin toiset basemenit.

Muodollisemmin, ratkaisemamme ongelma on nähdä, ovatko kaksi todennäköisyysjakaumaa samoja, tai ainakin onko niillä samat parametrit. Riippuen jakaumasta, meidän on käytettävä erilaisia testejä. Jos tiedämme, että jakaumamme ovat normaalijakaumia, voimme soveltaa Studentin t-testiä.

Studentin t-testissä laskemme niin sanotun t-arvon, joka osoittaa keskiarvojen eron ottaen huomioon varianssin. On osoitettu, että t-arvo noudattaa Studentin jakaumaa, mikä mahdollistaa kynnysarvon saamisen annetulle luottamustasolle p (tämä voidaan laskea tai katsoa numeerisista taulukoista). Vertaillemme sitten t-arvoa tähän kynnysarvoon hypoteesin hyväksymiseksi tai hylkäämiseksi.

Pythonissa voimme käyttää SciPy-kirjastoa, joka sisältää ttest_ind-funktion (sekä monia muita hyödyllisiä tilastollisia funktioita!). Se laskee t-arvon puolestamme ja tekee myös käänteisen luottamustason p-arvon haun, joten voimme vain tarkastella luottamustasoa johtopäätöksen tekemiseksi.

Esimerkiksi vertailumme ensimmäisten ja toisten basemenien pituuksista antaa seuraavat tulokset:

from scipy.stats import ttest_ind

tval, pval = ttest_ind(df.loc[df['Role']=='First_Baseman',['Height']], df.loc[df['Role']=='Designated_Hitter',['Height']],equal_var=False)
print(f"T-value = {tval[0]:.2f}\nP-value: {pval[0]}")

T-value = 7.65
P-value: 9.137321189738925e-12

Tässä tapauksessa p-arvo on erittäin pieni, mikä tarkoittaa, että on vahvaa näyttöä siitä, että ensimmäiset basemenit ovat pidempiä.

On myös muita hypoteeseja, joita voimme testata, esimerkiksi:

• Todistaa, että annettu otos noudattaa jotain jakaumaa. Esimerkissämme oletimme, että pituudet ovat normaalijakautuneita, mutta tämä vaatii muodollisen tilastollisen vahvistuksen.
• Todistaa, että otoksen keskiarvo vastaa jotain ennalta määriteltyä arvoa.
• Verrata useiden otosten keskiarvoja (esim. mikä on onnellisuustasojen ero eri ikäryhmien välillä).

Suurten lukujen laki ja keskeinen raja-arvolause

Yksi syy, miksi normaalijakauma on niin tärkeä, on niin sanottu keskeinen raja-arvolause. Oletetaan, että meillä on suuri otos riippumattomia N arvoja X₁, ..., X_N, jotka on otettu mistä tahansa jakaumasta, jonka keskiarvo on μ ja varianssi σ². Tällöin, kun N on riittävän suuri (toisin sanoen, kun N→∞), keskiarvo Σ_iX_i on normaalijakautunut, keskiarvolla μ ja varianssilla σ²/N.

Toinen tapa tulkita keskeistä raja-arvolausetta on sanoa, että riippumatta jakaumasta, kun lasket minkä tahansa satunnaismuuttujan arvojen summan keskiarvon, päädyt normaalijakaumaan.

Keskeisestä raja-arvolauseesta seuraa myös, että kun N→∞, otoskeskiarvon todennäköisyys olla yhtä suuri kuin μ lähestyy arvoa 1. Tätä kutsutaan suurten lukujen laiksi.

Kovaranssi ja korrelaatio

Yksi datatieteen tehtävistä on löytää yhteyksiä datan välillä. Sanomme, että kaksi sarjaa korreloivat, kun ne käyttäytyvät samankaltaisesti samaan aikaan, eli ne joko nousevat/laskevat samanaikaisesti tai toinen sarja nousee, kun toinen laskee ja päinvastoin. Toisin sanoen, sarjojen välillä näyttää olevan jokin yhteys.

Korrelaatio ei välttämättä tarkoita kausaalista suhdetta kahden sarjan välillä; joskus molemmat muuttujat voivat riippua jostain ulkoisesta syystä, tai voi olla täysin sattumaa, että kaksi sarjaa korreloivat. Kuitenkin vahva matemaattinen korrelaatio on hyvä osoitus siitä, että kaksi muuttujaa ovat jollain tavalla yhteydessä.

Matemaattisesti pääkäsite, joka osoittaa kahden satunnaismuuttujan välisen suhteen, on kovarianssi, joka lasketaan seuraavasti: Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]. Laskemme molempien muuttujien poikkeaman niiden keskiarvoista ja sitten näiden poikkeamien tulon. Jos molemmat muuttujat poikkeavat yhdessä, tulo on aina positiivinen, mikä johtaa positiiviseen kovarianssiin. Jos molemmat muuttujat poikkeavat epäsynkronisesti (eli toinen laskee keskiarvon alapuolelle, kun toinen nousee keskiarvon yläpuolelle), saamme aina negatiivisia lukuja, jotka johtavat negatiiviseen kovarianssiin. Jos poikkeamat eivät ole riippuvaisia, ne summautuvat suunnilleen nollaan.

Kovarianssin itseisarvo ei kerro paljon korrelaation voimakkuudesta, koska se riippuu todellisten arvojen suuruudesta. Normalisoidaksemme sen voimme jakaa kovarianssin molempien muuttujien keskihajonnalla saadaksemme korrelaation. Hyvä puoli on, että korrelaatio on aina välillä [-1,1], missä 1 tarkoittaa vahvaa positiivista korrelaatiota, -1 vahvaa negatiivista korrelaatiota ja 0 ei korrelaatiota ollenkaan (muuttujat ovat riippumattomia).

Esimerkki: Voimme laskea korrelaation baseball-pelaajien painojen ja pituuksien välillä yllä mainitusta aineistosta:

print(np.corrcoef(weights,heights))

Tuloksena saamme korrelaatiomatriisin, joka näyttää tältä:

array([[1.        , 0.52959196],
       [0.52959196, 1.        ]])

Korrelaatiomatriisi C voidaan laskea mille tahansa määrälle syötteitä S₁, ..., S_n. Arvo C_ij on korrelaatio S_i:n ja S_j:n välillä, ja diagonaalielementit ovat aina 1 (itsekorrelaatio S_i:lle).

Tässä tapauksessa arvo 0.53 osoittaa, että henkilön painon ja pituuden välillä on jonkin verran korrelaatiota. Voimme myös tehdä hajontakaavion yhdestä arvosta toista vastaan nähdäksesi suhteen visuaalisesti:

Lisää esimerkkejä korrelaatiosta ja kovarianssista löytyy liitteenä olevasta muistikirjasta.

Yhteenveto

Tässä osiossa opimme:

• datan perus tilastolliset ominaisuudet, kuten keskiarvo, varianssi, moodi ja kvartiilit
• satunnaismuuttujien erilaiset jakaumat, mukaan lukien normaalijakauma
• kuinka löytää korrelaatio eri ominaisuuksien välillä
• kuinka käyttää matemaattisia ja tilastollisia menetelmiä hypoteesien todistamiseen
• kuinka laskea satunnaismuuttujan luottamusvälit annetusta otoksesta

Vaikka tämä ei olekaan tyhjentävä luettelo todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen aiheista, sen pitäisi antaa sinulle hyvä lähtökohta tähän kurssiin.

🚀 Haaste

Käytä muistikirjan esimerkkikoodia testataksesi muita hypoteeseja:

1. Ensimmäiset basemenit ovat vanhempia kuin toiset basemenit
2. Ensimmäiset basemenit ovat pidempiä kuin kolmannet basemenit
3. Shortstopit ovat pidempiä kuin toiset basemenit

Luennon jälkeinen kysely

Kertaus ja itseopiskelu

Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede on niin laaja aihe, että se ansaitsee oman kurssinsa. Jos haluat syventyä teoriaan, voit jatkaa lukemista seuraavista kirjoista:

1. Carlos Fernandez-Granda New Yorkin yliopistosta on laatinut erinomaiset luentomuistiinpanot Probability and Statistics for Data Science (saatavilla verkossa).
2. Peter ja Andrew Bruce. Practical Statistics for Data Scientists. [esimerkkikoodi R:llä].
3. James D. Miller. Statistics for Data Science [esimerkkikoodi R:llä].

Tehtävä

Pieni diabetes-tutkimus

Kiitokset

Tämän oppitunnin on laatinut ♥️:lla Dmitry Soshnikov.

---

Vastuuvapauslauseke:
Tämä asiakirja on käännetty käyttämällä tekoälypohjaista käännöspalvelua Co-op Translator. Vaikka pyrimme tarkkuuteen, huomioithan, että automaattiset käännökset voivat sisältää virheitä tai epätarkkuuksia. Alkuperäistä asiakirjaa sen alkuperäisellä kielellä tulee pitää ensisijaisena lähteenä. Kriittisen tiedon osalta suositellaan ammattimaista ihmiskääntämistä. Emme ole vastuussa väärinkäsityksistä tai virhetulkinnoista, jotka johtuvat tämän käännöksen käytöstä.