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必备数学基础.md

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 > 常规数学中，所有问题都有一个解。而机器学习当中，求解很难或者没有解，我们只能不断逼近这个最优解。
 
-![1603586067346](assets/1603586067346.png)
+**问题一**：蚂蚁沿着什么方向跑路不被火烧，能活下来（二维平面）
+
+![有个坐标轴x,y，(0,0)处着火，蚂蚁应该怎么走](assets/1603675492825.png)
+
+
+$$
+函数：z = f(x,y)
+$$
+
+$$
+|pp'| = p = \sqrt{(\Delta x) ^ 2 + (\Delta y) ^ 2}
+$$
+
+$$
+\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x,y)
+$$
+
+![公式方向图](assets/1603675552941.png)
 
 > 蚂蚁沿着任意方向都可以活，最优的是沿着对角方向L，z是函数变化，也就是图中的φ。
 
-![1603586587946](assets/1603586587946.png)
+**三维平面的方向导数公式**：
+$$
+定理：如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在。
+$$
+
+$$
+\frac {\delta f}{\delta l} = \frac {\delta f}{\delta x}cos\varphi + \frac {\delta f}{\delta y} sin \varphi
+$$
+
+$$
+\varphi 是X轴到L的角度
+$$
 
-> 上面是三维平面的方向导数公式
 
-![1603586750205](assets/1603586750205.png)
 
-> 求一个方向导数具体的值
+![立体坐标轴](assets/1603676258627.png)
+
+**求一个方向导数具体的值**：
+$$
+求函数z=xe^{2y}在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.
+$$
+
+$$
+解\quad \quad 这里方向\vec l即为 \vec{PQ}={1,-1},故X轴到方向\vec l的转角\varphi = -\frac {\pi}{4}.
+$$
+
+$$
+\because \frac {\delta z}{\delta x}|_{(1,0)} = e^{2y}|_{(1,0)}=1;
+ \frac {\delta z}{\delta y}|_{(1,0)} = 2xe^{2y}|_{(1,0)}=2,
+$$
+
+$$
+所求方向导数
+$$
+
+$$
+\frac {\delta z}{\delta l}=cos(-\frac{\pi}{4})+2sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt 2}{2}.
+$$
 
 
 
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 > 是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此*梯度*的方向）变化最快，变化率最大（为该*梯度*的模）。
 
-![1603586920082](assets/1603586920082.png)
+$$
+函数：z=f(x,y)在平面域内具有连续的一阶偏导数，对于其中每一个点P(x,y)都有向量\frac {\delta f}{\delta x}\vec i + \frac {\delta f}{\delta y}\vec j
+$$
+
+$$
+则称其为函数在点P的梯度。
+$$
+
+$$
+gradf(x,y)=\frac {\delta f}{\delta x}\vec i + \frac {\delta f}{\delta y}\vec j
+$$
+
+$$
+\vec e = cos\varphi\vec i + sin\varphi\vec j是方向L上的单位向量
+$$
 
-> 根据上面的梯度导数，和方向导数的区别就在多了个cosθ，θ充当梯度和方向导数之间的关系
+$$
+\frac {\delta f}{\delta l}=\frac {\delta f}{\delta x}cos\varphi+\frac{\delta f}{\delta y}sin\varphi=\{\frac{\delta f}{\delta x}, \frac{\delta f}{\delta y}\}·\{cos\varphi, sin\varphi\}
+$$
 
-![1603587120862](assets/1603587120862.png)
+$$
+=gradf(x,y)·\vec e = |gradf(x,y)|cos\theta \quad \theta=(gradf(x,y),\vec e)
+$$
 
-> 注意，只有θ=0，cos导数才能=1，梯度才能取得最大值，也就是那个方向。而沿着反方向就是最小值也就是梯度下降。
+> 根据上面的梯度导数，和方向导数的区别就在多了个*cosθ*，*θ*充当梯度和方向导数之间的关系
 
-求一个具体值，最大梯度方向和最小梯度方向
+$$
+只有当cos(gradf(x,y),\vec e)=1,\frac{\delta f}{\delta l}才有最大值。
+$$
 
-![1603587998293](assets/1603587998293.png)
+函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与方向导数最大值取得的方向一致。
 
-> 注：得出的经过(-1,0,2)，求解：((-1^2) + (0^2) + (-2^2)) = √5，前面都是x的平方，所以结果也需要开根号。
+其大小正好是最大的方向导数
+
+![梯度图](assets/1603681846373.png)
+
+> 注意，只有*θ*=0，*cos*导数才能=1，梯度才能取得最大值，也就是那个方向。而沿着反方向就是最小值也就是梯度下降。
+
+**求一个具体值，最大梯度方向和最小梯度方向**：
+$$
+设u=xyz+z^2+5,求gradu,并求在点M(0,1,-1)处方向导数的最大(小)值
+$$
+
+$$
+\because \frac{\delta u}{\delta x}=yz, \frac{\delta u}{\delta y}=xz,\frac{\delta u}{\delta z}=xy+2z,
+$$
+
+$$
+\therefore gradu|_{(0,1,-1)}=(yz,xz,xy+2z)|_{(0,1,-1)}=(-1,0)
+$$
+
+$$
+从而最大值\quad max\{\frac{\delta u}{\delta l}|_M\}=||gradu||=\sqrt 5
+$$
+
+$$
+最小值\quad min\{\frac{\delta u}{\delta l}|_M\}=-||gradu||=-\sqrt 5
+$$
+
+> 注：得出的结果(-1,0,2)，求解：((-1^2) + (0^2) + (-2^2)) = √5，前面都是x的平方，所以结果也需要开根号。
 
 
 
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 ![1603589223245](assets/1603589223245.png)
 
-以直代曲
+**以直代曲**：
+
+对于矩形，我们可以轻松求得其面积，能否用矩形代替曲线形状呢？
+
+应该用多少个矩形来代替？
+
+![四个小矩形和九个小矩形](assets/1603685656784.png)
+
+> 越小的矩形，越覆盖，然后求每个矩形的面积。
+
+
+$$
+在ab之间插入若干个点，得到n个小区间。
+$$
+
+$$
+每个小矩形面积为：A_i=f(\xi
+_i)\Delta x_i近似得到曲线面积：A\approx \sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i
+$$
 
-![1603589301289](assets/1603589301289.png)
+$$
+当分割无限加细，每个小区间的最大长度为\lambda，此时\lambda → 0
+$$
 
-> 越小的矩形，越覆盖，求出每个矩形的面积。
+$$
+曲边面积：A=lim_{\lambda→0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i
+$$
 
-![1603589430186](assets/1603589430186.png)
+![1603688411669](assets/1603688411669.png)
 
 > 注意每个小区间的最大长度为λ，而λ无限接近于0时，那么曲边的面积我们就可以得出，当然这里的近似表达是极限，无限接近的极限。