fix. 公式显示异常处理

EmbodiedAI/第一章——具身智能到底在做什么.md

@@ -135,8 +135,8 @@ $$
 为了手算，我们先把推物简化成一维位置控制：
 
 - 当前位置 $x_0=2$，目标位置 $g=5$；
-- 观察就是当前位置：$o_t=x_t$；
-- 动作是本步移动的距离：$a_t\in[-1,1]$；
+- 观察就是当前位置： $o_t=x_t$；
+- 动作是本步移动的距离： $a_t\in[-1,1]$；
 - 暂不考虑接触、摩擦、惯性和传感器噪声。
 
 人工策略定义为：
@@ -309,14 +309,6 @@ while True:
 4. 分别把 `gain` 改为 `0.2` 和 `1.2`，比较 6 步后的位置和误差。哪个更快？是否出现越过目标的情况？
 5. 用自己的话解释：状态、观察、动作和策略分别是什么？反馈与奖励有什么区别？
 
-完成本章后，你应该能够：
-
-- 用自己的话解释“观察 → 决策 → 动作 → 反馈”的闭环；
-- 区分状态和观察、反馈和奖励；
-- 根据公式手算至少两个时间步；
-- 运行 Demo，并解释扰动后动作为什么发生变化；
-- 说明本章 Demo 是原理演示，不是真实机器人策略实验。
-
 ## 11. 参考资料与许可
 
 - [Gymnasium：Basic Usage](https://gymnasium.farama.org/introduction/basic_usage/)：`reset()`、`step()`、观察空间和动作空间的基础说明。
@@ -325,3 +317,21 @@ while True:
 - [Diffusion Policy 项目主页](https://diffusion-policy.cs.columbia.edu/)：PushT 任务及扩散策略的代表性工作，后续第五章会展开介绍。
 
 本章文字和一维控制代码为本教程原创。示例仅使用 Python 标准库，没有复制上游项目代码。
+
+
+
+### 参考答案（做完再对照）
+
+1. $a_1=\mathrm{clip}(0.5(5-3),-1,1)=1$，$x_2=3+1=4$；与代码输出一致。
+2. 同样观察到 $o_t=3$ 时，目标 $g=5$ 要向右，目标 $g=-2$ 要向左。策略需要同时知道观察和目标，即 $a_t=\pi(o_t,g)$；也可以把目标并入观察。
+3. 动作会**变小**。原本下一步从 $x=4$ 出发，动作是 $0.5$；加入 `+0.8` 扰动后从 $x=4.8$ 出发，动作变成 $0.1$，因为它已经更接近目标。
+4. 无扰动、运行 6 步：`gain=0.2` 到达 $x=4.213568$，误差为 $0.786432$；`gain=1.2` 到达 $x=5$，误差为 $0$，因此本例中后者更快。无扰动时没有越过目标；如果按前一题加入 `+0.8` 扰动，`gain=1.2` 会短暂越过目标（到达 $x=5.04$）再反向修正。结论只针对本章简化模型。
+5. 状态是环境实际情况；观察是机器人能测到的信息，可能不完整；策略根据观察和目标选择动作；动作是交给控制器的指令。反馈通常是动作后的**新观察**。奖励是评价结果好坏的数值，例如 $r=-\lvert g-x\rvert$；目标 $g$ 是想去的位置，本身不是奖励。
+
+完成本章后，你应该能够：
+
+- 用自己的话解释“观察 → 决策 → 动作 → 反馈”的闭环；
+- 区分状态和观察、反馈和奖励；
+- 根据公式手算至少两个时间步；
+- 运行 Demo，并解释扰动后动作为什么发生变化；
+- 说明本章 Demo 是原理演示，不是真实机器人策略实验。