algorithm-class/算法周更班/class_2022_06_2_week/Code04_ConsecutiveNumbersSum.java

package class_2022_06_2_week;

// 给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。 
// 示例 1:
// 输入: n = 5
// 输出: 2
// 解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。
// 示例 2:
// 输入: n = 9
// 输出: 3
// 解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
// 示例 3:
// 输入: n = 15
// 输出: 4
// 解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
// 测试链接 : https://leetcode.com/problems/consecutive-numbers-sum/
public class Code04_ConsecutiveNumbersSum {

	// 如果有，N = (x+1) + (x+2) + ... + (x+k)
	// 上式子可以化简为：N = kx + k(k+1)/2
	// 左右两边同时乘以2，可以得到：2N = 2kx + k^2 + k
	// 进而得到：2N = k(2x + k + 1)
	// 2N 偶 k * (2x + k + 1)
	// k 2x + k + 1
	// 所以，对于2N = k(2x + k + 1)，这个式子来说，只要给定不同的一组x和k，就对应一种不同的方案
	// 进一步分析可以看出：
	// 如果k为偶数，那么2x + k + 1就是奇数
	// 如果k为奇数，那么2x + k + 1就是偶数
	// 2N = 左 K 右 2x + k + 1
	// 2N 奇数因子K, 2x + k + 1
	// 也就是说，对于每一种方案，k和2x + k + 1，一定是不同的，并且连奇偶性都相反
	// 所以2N里任何一个奇数因子，可能作为k这一项，也可能作为2x+k+1这一项，
	// 不管奇数因子作为哪一项，都可以推出另外一项的值，进而确定k和x具体是多少
	// 进而可以推出，2N里有多少个奇数因子，就有多少种方案
	// 于是这个题就变成了求N里有多少奇数因子
	// 一般来说，求N里有多少奇数因子，用O(根号N)的方法肯定可以
	// 但其实可以更加的优化，
	// 如果 N = 3^a * 5^b * 7^c * 9^d ....那么N一共会出现多少奇数因子呢？
	// N的质数因子：可以选择0个3..可以选择1个3...可以选择2个3...可以选择a个3，所以有a+1种选择
	// 上面的选择，去乘以：可以选择0个5..可以选择1个5...可以选择2个5...可以选择b个5，所以有b+1种选择
	// 上面的选择，去乘以：可以选择0个7..可以选择1个7...可以选择2个7...可以选择c个7，所以有c+1种选择
	// ...
	// 所以，一共有(a + 1) * (b + 1) * (c + 1) * (d + 1) .....这么多个奇数因子
	public static int consecutiveNumbersSum1(int N) {
		while ((N & 1) == 0) {
			N >>= 1;
		}
		int res = 1;
		for (int i = 3; i <= N; i += 2) {
			int count = 1;
			while (N % i == 0) {
				N /= i;
				count++;
			}
			res *= count;
		}
		return res;
	}

	// 进一步优化
	public static int consecutiveNumbersSum2(int N) {
		while ((N & 1) == 0) {
			N >>= 1;
		}
		int res = 1;
		// O(根号N)
		for (int i = 3; i * i <= N; i += 2) {
			int count = 1;
			while (N % i == 0) {
				N /= i;
				count++;
			}
			// rest *= （计数+1）
			res *= count;
		}
		// N == 1表示已经找到了所有奇数因子
		// N != 1表示只残留着最后一个奇数因子了
		// 简单证明：如果N最后残留着不只一个奇数因子，
		// 比如x*y(不妨设x<y)，那么在for循环里，就依然会有i*i <= N
		// 因为i=x时，x*x <= x*y,所以x在for循环里就能计算到
		// 所以如果N != 1表示只残留着一个奇数因子
		return N == 1 ? res : (res << 1);
	}

	public static void main(String[] args) {
		int N = 3 * 5 * 7;
//		System.out.println(N);
		// 105 -> 10
		// i = 3
		//
		// 105 -> 35
		// i = 5 ++
		// 35 -> 7
		// i = 7
		// i * i <= N
		// 1 * （1+1）
//		System.out.println(consecutiveNumbersSum1(N));
		System.out.println(consecutiveNumbersSum2(N));
	}

}