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使用 Scikit-learn 建立迴歸模型：四種迴歸方式

初學者筆記

線性迴歸用於當我們想預測一個數值（例如房價、溫度或銷售額）時。 它透過找到一條最佳代表輸入特徵與輸出之間關係的直線來運作。

在本課程中，我們專注於理解基本概念，然後再探討更進階的迴歸技術。

資訊圖表由 Dasani Madipalli 製作

課前測驗

本課程有 R 版本！

介紹

迄今為止，你已經探索了什麼是迴歸，並使用本課程將持續使用的南瓜定價資料集的範例數據。你也用 Matplotlib 進行了視覺化。

現在你準備更深入了解機器學習的迴歸。雖然視覺化能幫助你理解資料，機器學習真正的強大之處在於訓練模型。模型在歷史數據上訓練，能自動捕捉數據的依賴關係，並讓你能對新數據（模型未見過的）進行預測。

本課程你將了解兩種迴歸類型：基本線性迴歸_和_多項式迴歸，以及這些技術背後的一些數學原理。這些模型將讓我們根據不同輸入數據預測南瓜價格。

🎥 點擊上圖觀看線性迴歸的短片介紹。

整個課程假設數學知識最低限度，並試圖讓來自其他領域的學生也能理解，所以請留意筆記、🧮 註解、圖解及其他學習工具，幫助理解。

先備知識

你應該已熟悉我們正在檢視的南瓜資料結構。它已預先載入且清理完畢於本課程的 notebook.ipynb 檔案中。在該檔中，南瓜價格以每蒲式耳計算，並顯示於新的資料框中。請確保你可以在 Visual Studio Code 的執行核心中執行這些筆記本。

準備

提醒一下，你載入這些資料是為了對它提出問題。

• 什麼時候是買南瓜的最佳時機？
• 我期望一箱小型南瓜的價格是多少？
• 我應該買半蒲式耳的籃子還是一箱 1又1/9蒲式耳的包裝？ 讓我們繼續挖掘這些數據。

在上一課中，你建立了 Pandas 資料框並填入原始數據集的一部分，透過蒲式耳將價格標準化。不過這樣你只能取得大約 400 筆資料，且僅限秋季月份。

看看本課程附帶筆記本中預先載入的數據。數據已被載入並繪製了初始的散點圖，展示月份資料。也許我們可以透過更進一步清理，得到關於資料性質的更多細節。

線性迴歸線

如同在第 1 課中所學，線性迴歸的目標是繪製一條線來：

• 顯示變數關係。顯示變數之間的關係
• 進行預測。準確預測新數據點在該線上的位置。

「最小平方法迴歸」通常用來畫這類線。最小平方法指的是在模型中最小化總誤差的過程。對每個數據點，我們測量實際點與迴歸線之間的垂直距離（稱為殘差）。

我們將距離平方有兩個主要原因：

1. 避免正負抵銷： 我們希望將 -5 的誤差視同 +5，平方使所有值變成正值。

2. 懲罰離群值： 平方會給大誤差更大權重，迫使線條更貼近遠離的點。

接著我們會把所有平方值加總起來。目標是找到特定的線，使最終總和達到最小值（可能的最小值），因此稱作「最小平方法」。

🧮 答案告訴我數學

這條線稱為 最佳擬合線，可用方程式 表示：

Y = a + bX

X 是「解釋變數」；Y 是「應變數」。線的斜率為 b，a 是 y 截距，表示當 X = 0 時，Y 的值。

首先計算斜率 b。資訊圖表由 Jen Looper 製作

換句話說，將我們南瓜數據的原始問題「按月份預測南瓜每蒲式耳價格」，X 代表價格，Y 代表銷售月份。

計算 Y 的值。如果你付大約 4 美元，一定是 4 月！資訊圖表由 Jen Looper 製作

計算該線的數學必須顯示斜率，斜率也取決於截距，表示 X = 0 時 Y 在哪裡。

你可以在 Math is Fun 網站觀察計算方法。也可造訪 此最小平方計算器，觀察數值如何影響線段。

相關係數

還有一個要理解的名詞是給定 X 和 Y 變數間的相關係數。透過散點圖可以快速將其視覺化。若散點排成一條整齊的線，相關性高；若散點亂散在 X 與 Y 間，相關性低。

好的線性迴歸模型，應該是透過最小平方法計算出迴歸線，且其相關係數數值偏高（靠近 1，而非 0）。

✅ 執行本課程附帶的筆記本，查看「月份對價格」的散點圖。根據你對散點圖的視覺判斷，南瓜銷售的月份與價格關聯性高還是低？若改用更細緻的度量，像是「一年中的第幾天」（例如從年初算起的天數），這個關係會改變嗎？

在下面的程式碼中，我們假設已清理資料，並獲得一個名為 new_pumpkins 的資料框，類似如下：

ID	Month	DayOfYear	Variety	City	Package	Low Price	High Price	Price
70	9	267	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	15.0	15.0	13.636364
71	9	267	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	18.0	18.0	16.363636
72	10	274	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	18.0	18.0	16.363636
73	10	274	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	17.0	17.0	15.454545
74	10	281	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	15.0	15.0	13.636364

用於清理資料的程式碼可參考 notebook.ipynb。我們執行了與前一課相同的清理步驟，並使用以下運算式計算了 DayOfYear 欄位：

day_of_year = pd.to_datetime(pumpkins['Date']).apply(lambda dt: (dt-datetime(dt.year,1,1)).days)

既然你已了解線性迴歸背後的數學，讓我們建立一個迴歸模型，看看是否能預測哪種南瓜包裝會有最佳南瓜價格。購買南瓜作為節慶南瓜園的你，可能想利用這些資訊來最佳化購買策略。

尋找相關性

🎥 點擊上圖觀看相關性的短片介紹。

從上一課你可能已看到，不同月份的平均價格如下：

這表示應該存在某種相關性，我們可以試著訓練線性迴歸模型，預測 Month 與 Price 之間，或 DayOfYear 與 Price 之間的關係。下圖展示了後者的散佈圖：

讓我們使用 corr 函數看看是否存在相關：

print(new_pumpkins['Month'].corr(new_pumpkins['Price']))
print(new_pumpkins['DayOfYear'].corr(new_pumpkins['Price']))

看起來，按月份的相關性約為 -0.15，按「一年中第幾天」的相關性約為 -0.17，但可能還存在其他重要關係。看起來不同南瓜品種對價格形成了不同的群集。為了驗證這點，我們用不同顏色標示每個南瓜種類，並透過傳遞 ax 參數給 scatter 繪圖函式，將所有點繪在同一張圖中：

ax=None
colors = ['red','blue','green','yellow']
for i,var in enumerate(new_pumpkins['Variety'].unique()):
    df = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']==var]
    ax = df.plot.scatter('DayOfYear','Price',ax=ax,c=colors[i],label=var)

調查顯示，南瓜的品種對價格的影響比實際銷售日期更大。我們可用直條圖視覺化：

new_pumpkins.groupby('Variety')['Price'].mean().plot(kind='bar')

現在先專注於其中一種南瓜品種「派型」，看看日期對價格有什麼影響：

pie_pumpkins = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']=='PIE TYPE']
pie_pumpkins.plot.scatter('DayOfYear','Price') 

接著用 corr 函數計算 Price 與 DayOfYear 的相關係數，可能會得到約 -0.27，這代表訓練預測模型是有意義的。

在訓練線性迴歸模型前，務必確保數據清理乾淨。線性迴歸對缺失值不敏感，因此最好去除所有空值：

pie_pumpkins.dropna(inplace=True)
pie_pumpkins.info()

另一種選擇是以該欄位的平均值填補空值。

簡單線性迴歸

🎥 點擊上圖觀看線性與多項式迴歸的短片介紹。

我們將使用 Scikit-learn 框架來訓練線性迴歸模型。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split

我們先將輸入值（特徵）與預期輸出（標籤）分離成不同的 numpy 陣列：

X = pie_pumpkins['DayOfYear'].to_numpy().reshape(-1,1)
y = pie_pumpkins['Price']

請注意，我們對輸入資料執行 reshape，讓線性迴歸套件能正確理解。線性迴歸期望 2D 陣列作為輸入，陣列的每一列代表一組輸入特徵向量。我們這裡只有一個輸入，因此需要 N×1 形狀的陣列，其中 N 為資料集大小。

接著，我們將數據分割為訓練集與測試集，以便在訓練後驗證模型：

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

最後，訓練真正的線性迴歸模型只要兩行程式碼。我們定義一個 LinearRegression 物件，並用 fit 方法擬合數據：

lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_train,y_train)

LinearRegression 物件在經過 fit 訓練後包含了回歸的所有係數，可以透過 .coef_ 屬性存取。在我們的例子中，只有一個係數，應該大約是 -0.017。這代表價格隨時間似乎略微下降，但幅度不大，大約每天跌了兩分錢。我們也可以使用 lin_reg.intercept_ 取得回歸與 Y 軸的交叉點，這在我們的例子中會是大約 21，顯示年初的價格。

為了檢視模型的準確度，我們可以在測試資料集上預測價格，然後衡量預測值與期望值的接近程度。這可以用均方誤差（MSE）來衡量，它是所有預期值與預測值差異平方的平均值。

pred = lin_reg.predict(X_test)

mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')

我們的誤差大約是 2 點，約為 ~17%。表現並不佳。判斷模型品質的另一個指標是決定係數，可用以下方式取得：

score = lin_reg.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

若該值為 0，表示模型沒有考慮輸入資料，等同於最差的線性預測，也就是輸出結果的平均值。值為 1 意味著我們可以完美地預測所有期望輸出。在我們的例子中，決定係數約為 0.06，相當低。

我們還可以將測試資料與回歸直線繪製在一起，更清楚地了解回歸情況：

plt.scatter(X_test,y_test)
plt.plot(X_test,pred)

多項式回歸

另一種線性回歸是多項式回歸。有時變數之間為線性關係，例如體積越大的南瓜價格越高，但有時這種關係無法用一平面或直線來表示。

✅ 這裡有更多使用多項式回歸的資料範例

再看看日期和價格間的關係。這個散佈圖看起來一定適合用直線分析嗎？價格不是會波動嗎？這種情況下，可以嘗試多項式回歸。

✅ 多項式是可能包含一個或多個變數和係數的數學式

多項式回歸會做出曲線，以更適合非線性資料。在我們的例子中，若將平方的 DayOfYear 變數加入輸入資料，即可用拋物線去擬合資料，且該曲線會在一年中的某點出現最小值。

Scikit-learn 提供方便的pipeline API來串接資料處理的不同步驟。pipeline 是一連串的估計器。在我們的例子中，我們將建立一個先加入多項式特徵，然後訓練回歸的 pipeline：

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline

pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())

pipeline.fit(X_train,y_train)

使用 PolynomialFeatures(2) 表示會包含所有二次多項式。在我們這裡，只有 DayOfYear²，但若有兩個輸入變數 X 和 Y，則會加入 X²、XY 和 Y²。如果想，也可使用更高次數多項式。

Pipeline 使用方法和原本的 LinearRegression 物件一樣，我們可以 fit pipeline，然後用 predict 得到預測結果。下圖是測試資料和擬合曲線：

使用多項式回歸，我們可獲得略低的 MSE 和略高的決定係數，但差異不大。還需考慮其他特徵！

你可以看到最低的南瓜價格大約出現在萬聖節前後。你怎麼解釋這個現象？

🎃 恭喜你，剛剛建立了一個能幫助預測派用南瓜價格的模型。你或許可以對所有南瓜種類重複這個流程，但那會很繁瑣。現在我們來學習如何讓模型納入南瓜品種差異！

類別特徵

理想狀況下，我們希望使用同一個模型預測不同南瓜品種的價格。然而，Variety 欄位不同於 Month 等欄位，因為它包含非數值資料。這類欄位稱為類別特徵。

🎥 點擊上方圖片，觀看使用類別特徵的簡短影片介紹。

這裡展示不同品種的平均價格差異：

要考慮品種，我們首先需要將它轉換成數值形式，或稱編碼。有幾種方法：

• 簡單的數字編碼會建立品種列表，然後用該列表的索引取代品種名稱。但對線性回歸而言，這不是好方法，因為線性回歸直接使用編號數值並乘以係數，然而索引與價格間的關係很明顯非線性，即使索引是有序的。
• One-hot 編碼會將 Variety 欄位拆成四個欄位，每個欄位對應一品種。每一列中對應品種的欄位為 1，其餘為 0。這樣線性回歸會有四個係數，分別代表各品種的「基礎價格」（或可視為「額外價格」）。

下面程式碼顯示如何以 one-hot 編碼品種：

pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])

ID	FAIRYTALE	MINIATURE	MIXED HEIRLOOM VARIETIES	PIE TYPE
70	0	0	0	1
71	0	0	0	1
...	...	...	...	...
1738	0	1	0	0
1739	0	1	0	0
1740	0	1	0	0
1741	0	1	0	0
1742	0	1	0	0

若要使用 one-hot 編碼的品種作為輸入訓練線性回歸，只要正確初始化 X 和 y：

X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
y = new_pumpkins['Price']

其他程式碼與之前訓練線性回歸相同。若你嘗試執行，會看到均方誤差差不多，但決定係數大幅提升（約 77%）。想得到更準確的預測，可以加入更多類別特徵以及數值特徵，如 Month 或 DayOfYear。要獲得一個完整的特徵陣列，可以使用 join：

X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
        .join(new_pumpkins['Month']) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']

這裡也納入了 City 與 Package 類型，得到 MSE 2.84（10%）和決定係數 0.94！

綜合應用

為得到最佳模型，我們可將上例中合併的（one-hot 編碼類別 + 數值）資料，搭配多項式回歸。以下是完整程式碼以方便使用：

# 設置訓練資料
X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
        .join(new_pumpkins['Month']) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']

# 進行訓練和測試資料分割
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

# 設置並訓練流程
pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
pipeline.fit(X_train,y_train)

# 預測測試資料結果
pred = pipeline.predict(X_test)

# 計算均方誤差和判定係數
mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')

score = pipeline.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

這樣應該可達到最高決定係數接近 97%，MSE=2.23（約 8% 預測誤差）。

模型	MSE	決定係數
DayOfYear 線性	2.77 (17.2%)	0.07
DayOfYear 多項式	2.73 (17.0%)	0.08
Variety 線性	5.24 (19.7%)	0.77
全特徵 線性	2.84 (10.5%)	0.94
全特徵 多項式	2.23 (8.25%)	0.97

🏆 做得好！你在一堂課中建立了四個回歸模型，並將模型品質提升到 97%。在最後一節「回歸型」中，你將學習用邏輯回歸判斷類別。

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🚀 挑戰

在本筆記本中測試多個不同變數，觀察其相關性與模型準確度的對應關係。

課後測驗

複習與自學

本課程介紹線性回歸。還有許多重要的回歸型態。可閱讀邁進式回歸、嶺回歸、套索回歸與彈性網路技巧。深入了解建議學習史丹佛統計學習課程

作業

建立一個模型

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