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使用 Scikit-learn 建立迴歸模型：四種迴歸方式

初學者筆記

當我們想要預測數值（例如房屋價格、溫度或銷售額）時，會使用線性迴歸。它是透過尋找最能代表輸入特徵與輸出之間關係的直線來進行預測。

本課程將先專注於理解概念，稍後再探討更進階的迴歸技術。

資訊圖表由 Dasani Madipalli 製作

課前小測驗

本課程也提供 R 語言版本！

導言

到目前為止，你已經用南瓜定價資料集探討了迴歸概念，並使用 Matplotlib 進行視覺化。

現在你準備深入了解 ML 中的迴歸應用。視覺化讓你理解資料，真正的機器學習威力來自於「訓練模型」。模型會基於歷史資料自動捕捉資料關聯，並能對未見過的新資料進行預測。

本課程將介紹兩種迴歸方式：＿基本線性迴歸＿和＿多項式迴歸＿，並涵蓋這些技術背後的數學原理。這些模型將幫助我們依據不同輸入資料預測南瓜價格。

🎥 點擊上方圖片觀看線性迴歸的簡短影片介紹。

本課程假設極少的數學背景，並致力讓非相關領域的學生也能理解，請留意課堂筆記、🧮 數學補充、圖表等學習輔助工具。

先修知識

你現在應熟悉我們分析的南瓜資料結構。資料已預先載入並清理，存於本課程的 notebook.ipynb。在該檔案中，南瓜價格以「每蒲式耳」價格呈現。請確定你能在 Visual Studio Code 的 kernel 執行這些 notebook。

準備工作

提醒你，載入資料是為了向它提出問題：

• 什麼時候買南瓜最划算？
• 一箱迷你南瓜大約多少錢？
• 我該買半蒲式耳籃裝還是 1 1/9 蒲式耳箱裝？ 讓我們持續深入挖掘資料。

上一課中，你建立了 Pandas dataframe 並用原始數據部分填充，還根據蒲式耳標準化了價格。不過，那時僅蒐集約 400 筆資料，也只涵蓋秋季月份。

請看看本課 notebook 中預載的資料。資料已預先載入，並藉由散佈圖初步描繪出月份資料。也許我們可以進一步清理，以更細緻了解資料本質。

線性迴歸直線

如第一課所學，線性迴歸的目的是畫出一條線，用以：

• 顯示變數關係。展示變數間的關聯。
• 進行預測。對新數據點相較這條線的落點做出精準預測。

此類線通常由最小平方法回歸繪出。「最小平方法」指的是最小化模型總誤差的過程。對每筆資料點，測量實際點與迴歸線間的垂直距離（稱作殘差）。

這些距離會被平方，理由有二：

1. 大小勝過方向：我們希望把 -5 與 +5 的誤差同等對待，平方後皆轉為正值。

2. 懲罰離群點：平方強化較大誤差權重，迫使線條更貼近遠離的點。

接著將所有平方值加總。目標是找到能使平方誤差加總最低（最小值）的線，因此稱為「最小平方法」。

🧮 數學公式展現

此線稱為＿最佳擬合線＿，可用以下方程式表達：

Y = a + bX

X 是「解釋變數」，Y 是「被解釋變數」。線的斜率是 b，a 是 y 軸截距，即當 X = 0 時的 Y 值。

先計算斜率 b。資訊圖表由 Jen Looper 製作。

換句話說，根據我們的南瓜數據的問題：「依月份預測每蒲式耳南瓜價格」，X 指價格，Y 指銷售月份。

計算 Y 的值。如果你付了約 4 美元，那一定是四月！資訊圖表由 Jen Looper 製作。

計算線條的數學必須反映出斜率，也取決於截距，即當 X = 0 時 Y 的位置。

你可參考 Math is Fun 網站了解計算方法，也可以使用這個最小平方法計算器 觀察數值如何影響線條。

相關係數

另一重要概念是給定 X 和 Y 變數間的相關係數。利用散佈圖，能快速看出相關輕重。若資料點沿一條整齊線排列，相關程度高；若資料點在 X、Y 間散布成零散狀，則相關度低。

一個良好的線性迴歸模型，會有接近 1（比 0 大得多）的高相關係數，並採用最小平方法找到最適回歸線。

✅ 執行本課附帶的 notebook，觀察「月份對價格」的散佈圖。依你目測，南瓜銷售的「月份／價格」資料是高相關還是低相關？換用更細膩的時間單位，如「年中第幾天」（Day of Year），結果會改變嗎？

下面程式碼示範假設資料已清理乾淨，並取得名為 new_pumpkins 的資料框，內容大致如下：

ID	Month	DayOfYear	Variety	City	Package	Low Price	High Price	Price
70	9	267	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	15.0	15.0	13.636364
71	9	267	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	18.0	18.0	16.363636
72	10	274	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	18.0	18.0	16.363636
73	10	274	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	17.0	17.0	15.454545
74	10	281	PIE TYPE	BALTIMORE	1 1/9 bushel cartons	15.0	15.0	13.636364

清理資料的程式碼可在 notebook.ipynb 中找到。我們做了和前一課相同的清理步驟，DayOfYear 欄位是用以下公式計算的：

day_of_year = pd.to_datetime(pumpkins['Date']).apply(lambda dt: (dt-datetime(dt.year,1,1)).days)

理解線性迴歸背後的數學後，讓我們來建立一個迴歸模型，看看能否預測哪種包裝的南瓜價格較低。要在節慶南瓜園採購南瓜時，這資訊有助於優化選購方案。

尋找相關性

🎥 點擊圖片觀看相關性的簡短影片介紹。

前一課你可能已見過不同月份平均價格如下圖：

這代表應該會有某種相關性，我們可以嘗試訓練線性迴歸模型，去預測 Month 與 Price 或 DayOfYear 與 Price 之間的關係。下圖是後者的散佈圖：

讓我們用 corr 函式檢視相關係數：

print(new_pumpkins['Month'].corr(new_pumpkins['Price']))
print(new_pumpkins['DayOfYear'].corr(new_pumpkins['Price']))

看起來相關性偏低，Month 約為 -0.15，DayOfYear 約 -0.17，但似乎有其他重要因素。不同南瓜品種對應不同價格群聚。為驗證，將每種南瓜用不同顏色繪圖。傳入 ax 參數至 scatter 繪圖函式可同時在同張圖上繪出所有點：

ax=None
colors = ['red','blue','green','yellow']
for i,var in enumerate(new_pumpkins['Variety'].unique()):
    df = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']==var]
    ax = df.plot.scatter('DayOfYear','Price',ax=ax,c=colors[i],label=var)

結果顯示品種對價格影響較大，勝過實際銷售日期。下圖柱狀圖呈現此結果：

new_pumpkins.groupby('Variety')['Price'].mean().plot(kind='bar')

暫時只聚焦於南瓜品種中的「派用型」（pie type），觀察日期對價格的影響：

pie_pumpkins = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']=='PIE TYPE']
pie_pumpkins.plot.scatter('DayOfYear','Price') 

接著以 corr 函式計算 Price 與 DayOfYear 的相關係數，可能得出約 -0.27，顯示訓練預測模型是有意義的。

訓練線性迴歸模型前，務必確認資料是乾淨的。線性迴歸不適用於遺失值，因此應排除所有空白欄位：

pie_pumpkins.dropna(inplace=True)
pie_pumpkins.info()

另一種做法是用該欄位平均值填補空白資料。

簡單線性迴歸

🎥 點擊圖片觀看線性及多項式迴歸的簡短影片介紹。

訓練線性迴歸模型時，我們會使用 Scikit-learn 函式庫。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split

我們先將輸入特徵（features）與預期輸出（label）分別存為兩個 numpy 陣列：

X = pie_pumpkins['DayOfYear'].to_numpy().reshape(-1,1)
y = pie_pumpkins['Price']

注意我們必須對輸入資料做 reshape，讓 Linear Regression 套件能識別。線性迴歸期待輸入為二維陣列，每列為一組特徵向量。因為我們只有一個輸入變數，須將陣列形狀調整為 N×1，其中 N 是資料筆數。

接著，將資料切分成訓練集與測試集，方便訓練後評估模型：

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

最後，訓練線性迴歸模型只要兩行程式碼。定義 LinearRegression 物件，並用 fit 方法套用資料：

lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_train,y_train)

LinearRegression 對象在 fit 之後包含了迴歸的所有係數，可以通過 .coef_ 屬性訪問。在我們的例子中，只有一個係數，應該約為 -0.017。這意味著價格隨時間略有下降，但不多，大約每天下降 2 分錢。我們還可以通過 lin_reg.intercept_ 訪問迴歸與 Y 軸的截距 — 在我們的例子中約為 21，表示年初的價格。

為了檢視模型的準確度，我們可以在測試數據集上預測價格，然後測量預測結果與期望值的接近程度。這可以使用均方根誤差 (RMSE) 指標計算，即期望值與預測值所有平方差均值的平方根。

pred = lin_reg.predict(X_test)

rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'RMSE: {rmse:3.3} ({rmse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')

我們的誤差約為 2 點，約為 17%。表現不是很好。另一個評估模型質量的指標是決定係數，可以這樣獲得：

score = lin_reg.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

如果值為 0，表示模型沒有考慮輸入數據，表現為最差線性預測器，即結果的平均值。值為 1 表示我們可以完美預測所有預期輸出。在我們的例子中，係數約為 0.06，相當低。

我們還可以將測試數據與迴歸線一起繪圖，更清楚地觀察迴歸效果：

plt.scatter(X_test,y_test)
plt.plot(X_test,pred)

多項式迴歸

另一種線性迴歸類型是多項式迴歸。有時候變量之間是線性關係 — 譬如南瓜體積越大，價格越高 — 但有時這些關係無法用平面或直線表示。

✅ 這裡有一些更多範例適合使用多項式迴歸的資料

再看看日期與價格的關係。散點圖是否一定要用直線分析？價格難道不會波動？此時可以嘗試多項式迴歸。

✅ 多項式是可能包含一個或多個變量及係數的數學表達式

多項式迴歸會擬合曲線以更好地適應非線性資料。在我們的例子中，如果將平方的 DayOfYear 變量加入輸入資料，就能用拋物線擬合數據，且拋物線會在年度中的某點有最小值。

Scikit-learn 提供了實用的管道 API，用來串聯資料處理的各步驟。管道是一連串的估計器。在此，我們會先產生多項式特徵，再培訓迴歸模型：

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline

pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())

pipeline.fit(X_train,y_train)

使用 PolynomialFeatures(2) 表示我們將包括輸入數據中所有二次多項式。對我們來說，只有 DayOfYear²，但如果有兩個輸入變量 X 與 Y，則會加上 X²、XY 與 Y²。如果想，也可以使用更高次數的多項式。

管道的用法與原本的 LinearRegression 物件相同，即先 fit 管道，接著用 predict 得到預測結果：

pred = pipeline.predict(X_test)

rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'RMSE: {rmse:3.3} ({rmse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')

score = pipeline.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

為了繪製平滑擬合曲線，我們使用 np.linspace 產生均勻分布的輸入值，而非直接在無序的測試資料中繪圖（否則線條會鋸齒狀）：

X_range = np.linspace(X_test.min(), X_test.max(), 100).reshape(-1,1)
y_range = pipeline.predict(X_range)

plt.scatter(X_test, y_test)
plt.plot(X_range, y_range)

以下是測試資料與擬合曲線的圖示：

使用多項式迴歸，我們可以得到稍低的 RMSE 與較高的決定係數，但幅度有限。我們還需要考慮其他特徵！

你可以看到最低的南瓜價格出現在萬聖節附近。你怎麼解釋這個現象？

🎃 恭喜你剛完成可以預測派用南瓜價格的模型。你大概也可以用同樣流程對其他南瓜種類進行建模，但會很費時。接下來讓我們學習如何將南瓜品種納入模型！

類別特徵

理想情況下，我們希望能用同一模型預測不同南瓜品種的價格。但 Variety 欄位與 Month 欄位不同，因為它包含非數字的值。這類欄位稱為類別欄位(categorical)。

🎥 點擊上圖觀看使用類別特徵的簡短影片。

這裡可以看到不同品種的平均價格：

為了考慮品種，我們首先要將其轉換成數值形式，即編碼。有幾種方法：

• 簡單的 數值編碼 是建立一張不同品種的索引表，再將品種名以該表的索引數替代。這對線性迴歸不算好，因為線性迴歸直接用該數字乘上係數，然後加到結果中。我們的例子中，索引與價格的關係明顯非線性，即使我們確保索引有特定順序。
• One-hot 編碼 會將 Variety 欄位拆成四個不同欄位，對應四種品種。每個欄位若該行是此品種則為 1，否則為 0。這會產生四個線性迴歸係數，分別代表每種南瓜品種的「基準價格」（或者更準確來說，是「額外價格」）。

下面的程式碼展示如何對品種使用 one-hot 編碼：

pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])

ID	FAIRYTALE	MINIATURE	MIXED HEIRLOOM VARIETIES	PIE TYPE
70	0	0	0	1
71	0	0	0	1
...	...	...	...	...
1738	0	1	0	0
1739	0	1	0	0
1740	0	1	0	0
1741	0	1	0	0
1742	0	1	0	0

要用 one-hot 編碼品種的資料訓練線性迴歸，我們只要正確初始化 X 和 y：

X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
y = new_pumpkins['Price']

其餘程式碼與我們之前用來訓練線性迴歸的相同。如果你嘗試，你會發現均方誤差差不多，但決定係數大幅提升到約 77%。要得到更準確的預測，我們還可以考慮更多類別型特徵及數值型特徵，如 Month 或 DayOfYear。為了合併成一個特徵陣列，可使用 join：

X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
        .join(new_pumpkins['Month']) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']

這裡我們還加入了 City 和 Package 類型，結果是 RMSE 2.84（10.5%）與決定係數 0.94！

全面整合

要做出最佳模型，我們可以用上述合併的（one-hot 編碼類別 + 數值）特徵資料，同時套用多項式迴歸。方便起見，這是完整程式碼：

# 設置訓練數據
X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
        .join(new_pumpkins['Month']) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
        .join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']

# 製作訓練和測試數據分割
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

# 設置及訓練管道
pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
pipeline.fit(X_train,y_train)

# 預測測試數據結果
pred = pipeline.predict(X_test)

# 計算均方根誤差及判定係數
rmse = mean_squared_error(y_test, pred, squared=False)
print(f'RMSE: {rmse:3.3} ({rmse/pred.mean()*100:3.3}%)')

score = pipeline.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)

這應該會得到接近 97% 的最高決定係數，RMSE=2.23（約 8% 的預測誤差）。

模型	RMSE	決定係數
DayOfYear 線性迴歸	2.77 (17.2%)	0.07
DayOfYear 多項式迴歸	2.73 (17.0%)	0.08
Variety 線性迴歸	5.24 (19.7%)	0.77
所有特徵 線性迴歸	2.84 (10.5%)	0.94
所有特徵 多項式迴歸	2.23 (8.25%)	0.97

🏆 做得好！你在一課中創建了四個迴歸模型，並將模型質量提升至 97%。在迴歸的最後部分，你將學習用來判別類別的邏輯迴歸。

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🚀 挑戰

在這個筆記本中嘗試幾個不同變量，看看它們的相關性如何對模型準確度造成影響。

課後小測驗

複習與自學

本課我們學到了線性迴歸。還有其他重要類型的迴歸。可以閱讀關於逐步、嶺回歸 (Ridge)、套索 (Lasso) 和彈性網路 (Elasticnet) 的技術。推薦研習的課程是史丹佛統計學習課程

作業

建立模型

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