Data-Science-For-Beginners/translations/lt/1-Introduction/04-stats-and-probability

Trumpas įvadas į statistiką ir tikimybių teoriją

Statistika ir tikimybių teorija - Sketchnote by @nitya

Statistika ir tikimybių teorija yra dvi glaudžiai susijusios matematikos sritys, kurios yra labai svarbios duomenų mokslui. Nors galima dirbti su duomenimis neturint gilių matematikos žinių, vis tiek naudinga suprasti bent pagrindines sąvokas. Čia pateiksime trumpą įvadą, kuris padės jums pradėti.

Prieš paskaitos testas

Tikimybė ir atsitiktiniai kintamieji

Tikimybė yra skaičius tarp 0 ir 1, kuris parodo, kaip tikėtinas yra tam tikras įvykis. Ji apibrėžiama kaip teigiamų rezultatų (kurie veda į įvykį) skaičius, padalintas iš visų rezultatų skaičiaus, jei visi rezultatai yra vienodai tikėtini. Pavyzdžiui, metant kauliuką, tikimybė, kad gausime lyginį skaičių, yra 3/6 = 0.5.

Kalbėdami apie įvykius, naudojame atsitiktinius kintamuosius. Pavyzdžiui, atsitiktinis kintamasis, kuris reprezentuoja skaičių, gautą metant kauliuką, gali turėti reikšmes nuo 1 iki 6. Skaičių rinkinys nuo 1 iki 6 vadinamas imties erdve. Galime kalbėti apie tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgaus tam tikrą reikšmę, pavyzdžiui, P(X=3)=1/6.

Ankstesniame pavyzdyje atsitiktinis kintamasis vadinamas diskrečiu, nes jo imties erdvė yra skaičiuojama, t. y. yra atskiri reikšmės, kurias galima išvardinti. Yra atvejų, kai imties erdvė yra realių skaičių intervalas arba visas realių skaičių rinkinys. Tokie kintamieji vadinami tęstiniais. Geras pavyzdys yra autobuso atvykimo laikas.

Tikimybių pasiskirstymas

Diskrečių atsitiktinių kintamųjų atveju lengva aprašyti kiekvieno įvykio tikimybę funkcija P(X). Kiekvienai reikšmei s iš imties erdvės S ji suteiks skaičių nuo 0 iki 1, taip, kad visų P(X=s) reikšmių suma visiems įvykiams būtų lygi 1.

Labiausiai žinomas diskretus pasiskirstymas yra vienodas pasiskirstymas, kuriame yra N elementų imties erdvė, su vienoda tikimybe 1/N kiekvienam iš jų.

Sunkiau aprašyti tęstinio kintamojo tikimybių pasiskirstymą, kai reikšmės yra iš tam tikro intervalo [a,b] arba viso realių skaičių rinkinio ℝ. Pavyzdžiui, autobuso atvykimo laikas. Iš tiesų, kiekvienam tiksliam atvykimo laikui t tikimybė, kad autobusas atvyks būtent tuo metu, yra 0!

Dabar žinote, kad įvykiai su 0 tikimybe įvyksta, ir labai dažnai! Bent jau kiekvieną kartą, kai atvyksta autobusas!

Galime kalbėti tik apie tikimybę, kad kintamasis pateks į tam tikrą reikšmių intervalą, pvz., P(t₁≤X<t₂). Tokiu atveju tikimybių pasiskirstymas aprašomas tikimybių tankio funkcija p(x), tokia, kad

Tęstinis vienodo pasiskirstymo analogas vadinamas tęstiniu vienodu pasiskirstymu, kuris apibrėžiamas baigtiniame intervale. Tikimybė, kad reikšmė X pateks į intervalo ilgį l, yra proporcinga l ir didėja iki 1.

Kitas svarbus pasiskirstymas yra normalusis pasiskirstymas, apie kurį kalbėsime išsamiau žemiau.

Vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis

Tarkime, kad ištraukiame n atsitiktinio kintamojo X imčių seką: x₁, x₂, ..., x_n. Galime apibrėžti vidurkį (arba aritmetinį vidurkį) tradiciniu būdu kaip (x₁+x₂+x_n)/n. Didinant imties dydį (t. y. imant ribą su n→∞), gausime pasiskirstymo vidurkį (dar vadinamą lūkesčiu). Lūkesčius žymėsime E(x).

Galima parodyti, kad bet kuriam diskrečiam pasiskirstymui su reikšmėmis {x₁, x₂, ..., x_N} ir atitinkamomis tikimybėmis p₁, p₂, ..., p_N, lūkesčiai bus lygūs E(X)=x₁p₁+x₂p₂+...+x_Np_N.

Norėdami nustatyti, kaip toli reikšmės yra išsisklaidžiusios, galime apskaičiuoti dispersiją σ² = ∑(x_i - μ)²/n, kur μ yra sekos vidurkis. Reikšmė σ vadinama standartiniu nuokrypiu, o σ² vadinama dispersija.

Moda, mediana ir kvartiliai

Kartais vidurkis nepakankamai gerai atspindi „tipinę“ duomenų reikšmę. Pavyzdžiui, kai yra keletas ekstremalių reikšmių, kurios visiškai iškrenta iš diapazono, jos gali paveikti vidurkį. Kitas geras rodiklis yra mediana, reikšmė, tokia, kad pusė duomenų taškų yra mažesni už ją, o kita pusė - didesni.

Norėdami geriau suprasti duomenų pasiskirstymą, naudinga kalbėti apie kvartilius:

• Pirmasis kvartilis, arba Q1, yra reikšmė, tokia, kad 25% duomenų yra mažesni už ją
• Trečiasis kvartilis, arba Q3, yra reikšmė, tokia, kad 75% duomenų yra mažesni už ją

Grafiškai galime pavaizduoti medianos ir kvartilių santykį diagramoje, vadinamoje dėžės diagrama:

Čia taip pat apskaičiuojame tarpkvartilinį diapazoną IQR=Q3-Q1 ir vadinamuosius išskirtinius taškus - reikšmes, kurios yra už ribų [Q1-1.5IQR,Q3+1.5IQR].

Baigtiniam pasiskirstymui, kuriame yra nedaug galimų reikšmių, gera „tipinė“ reikšmė yra ta, kuri pasirodo dažniausiai, vadinama moda. Ji dažnai taikoma kategoriniams duomenims, tokiems kaip spalvos. Įsivaizduokite situaciją, kai turime dvi žmonių grupes - vieni stipriai mėgsta raudoną spalvą, o kiti mėgsta mėlyną. Jei koduotume spalvas skaičiais, vidutinė mėgstamos spalvos reikšmė būtų kažkur oranžinės-žalios spektro dalyje, kuri neatspindėtų tikrosios nei vienos grupės preferencijos. Tačiau moda būtų viena iš spalvų arba abi spalvos, jei žmonių, balsuojančių už jas, skaičius būtų vienodas (tokiu atveju imtis vadinama daugiamodine).

Realūs duomenys

Analizuojant realaus pasaulio duomenis, jie dažnai nėra atsitiktiniai kintamieji, ta prasme, kad neatliekame eksperimentų su nežinomu rezultatu. Pavyzdžiui, apsvarstykime beisbolo žaidėjų komandą ir jų kūno duomenis, tokius kaip ūgis, svoris ir amžius. Šie skaičiai nėra visiškai atsitiktiniai, tačiau vis tiek galime taikyti tuos pačius matematinius konceptus. Pavyzdžiui, žmonių svorių seka gali būti laikoma reikšmių seka, paimta iš tam tikro atsitiktinio kintamojo. Žemiau pateikiama faktinių beisbolo žaidėjų svorių seka iš Major League Baseball, paimta iš šio duomenų rinkinio (patogumui pateikiamos tik pirmos 20 reikšmių):

[180.0, 215.0, 210.0, 210.0, 188.0, 176.0, 209.0, 200.0, 231.0, 180.0, 188.0, 180.0, 185.0, 160.0, 180.0, 185.0, 197.0, 189.0, 185.0, 219.0]

Pastaba: Norėdami pamatyti, kaip dirbti su šiuo duomenų rinkiniu, peržiūrėkite pridedamą užrašų knygelę. Pamokoje taip pat yra keletas užduočių, kurias galite atlikti pridėdami kodą į tą užrašų knygelę. Jei nesate tikri, kaip dirbti su duomenimis, nesijaudinkite - vėliau grįšime prie darbo su duomenimis naudojant Python. Jei nežinote, kaip vykdyti kodą Jupyter užrašų knygelėje, peržiūrėkite šį straipsnį.

Štai dėžės diagrama, rodanti vidurkį, medianą ir kvartilius mūsų duomenims:

Kadangi mūsų duomenyse yra informacija apie skirtingus žaidėjų vaidmenis, galime sudaryti dėžės diagramą pagal vaidmenį - tai leis mums suprasti, kaip parametrų reikšmės skiriasi tarp vaidmenų. Šį kartą apsvarstysime ūgį:

Ši diagrama rodo, kad, vidutiniškai, pirmosios bazės žaidėjų ūgis yra didesnis nei antrosios bazės žaidėjų ūgis. Vėliau šioje pamokoje išmoksime, kaip formaliau patikrinti šią hipotezę ir kaip parodyti, kad mūsų duomenys yra statistiškai reikšmingi tai įrodyti.

Dirbant su realaus pasaulio duomenimis, darome prielaidą, kad visi duomenų taškai yra imtys, paimtos iš tam tikro tikimybių pasiskirstymo. Ši prielaida leidžia taikyti mašininio mokymosi metodus ir kurti veikiančius prognozavimo modelius.

Norėdami pamatyti, koks yra mūsų duomenų pasiskirstymas, galime sudaryti grafiką, vadinamą histograma. X ašis turėtų turėti skirtingų svorio intervalų skaičių (vadinamų dėžėmis), o vertikali ašis turėtų rodyti, kiek kartų mūsų atsitiktinio kintamojo imtis buvo tam tikrame intervale.

Iš šios histogramos matote, kad visos reikšmės yra sutelktos aplink tam tikrą vidutinį svorį, o kuo toliau nuo to svorio - tuo mažiau svorių su ta reikšme yra aptinkama. Kitaip tariant, labai mažai tikėtina, kad beisbolo žaidėjo svoris labai skirsis nuo vidutinio svorio. Svorio dispersija rodo, kiek svoriai gali skirtis nuo vidurkio.

Jei paimtume kitų žmonių, ne iš beisbolo lygos, svorius, pasiskirstymas greičiausiai būtų kitoks. Tačiau pasiskirstymo forma išliktų ta pati, tik vidurkis ir dispersija pasikeistų. Taigi, jei treniruosime savo modelį su beisbolo žaidėjais, jis greičiausiai duos neteisingus rezultatus, kai bus taikomas universiteto studentams, nes pagrindinis pasiskirstymas yra kitoks.

Normalusis pasiskirstymas

Svorio pasiskirstymas, kurį matėme aukščiau, yra labai tipiškas, ir daugelis realaus pasaulio matavimų seka tokio paties tipo pasiskirstymą, bet su skirtingu vidurkiu ir dispersija. Šis pasiskirstymas vadinamas normaliuoju pasiskirstymu, ir jis vaidina labai svarbų vaidmenį statistikoje.

Naudoti normalųjį pasiskirstymą yra teisingas būdas generuoti potencialių beisbolo žaidėjų atsitiktinius svorius. Kai žinome vidutinį svorį mean ir standartinį nuokrypį std, galime sugeneruoti 1000 svorio imčių šiuo būdu:

samples = np.random.normal(mean,std,1000)

Jei sudarysime sugeneruotų imčių histogramą, pamatysime vaizdą, labai panašų į aukščiau pateiktą. O jei padidinsime imčių skaičių ir dėžių skaičių, galime sugeneruoti normalaus pasiskirstymo vaizdą, kuris yra artimesnis idealiam:

Normalusis pasiskirstymas su vidurkiu=0 ir standartiniu nuokrypiu=1

Pasitikėjimo intervalai

Kalbėdami apie beisbolo žaidėjų svorius, darome prielaidą, kad yra tam tikras atsitiktinis kintamasis W, kuris atitinka idealų visų beisbolo žaidėjų svorių tikimybių pasiskirstymą (vadinamą populiacija). Mūsų svorių seka atitinka visų beisbolo žaidėjų pogrupį, kurį vadiname imčiu. Įdomus klausimas yra, ar galime žinoti W pasiskirstymo parametrus, t. y. populiacijos vidurkį ir dispersiją?

Lengviausias atsakymas būtų apskaičiuoti mūsų imties vidurkį ir dispersiją. Tačiau gali nutikti taip, kad mūsų atsitiktinė imtis tiksliai neatspindi visos populiacijos. Todėl prasminga kalbėti apie pasitikėjimo intervalą.

Pasitikėjimo intervalas yra tikrojo populiacijos vidurkio įvertinimas, atsižvelgiant į mūsų imtį, kuris yra tikslus tam tikra tikimybe (arba pasitikėjimo lygiu).

Tarkime, turime imtį X

1₁, ..., X_n iš mūsų paskirstymo. Kiekvieną kartą, kai imame pavyzdį iš paskirstymo, gauname skirtingą vidutinę reikšmę μ. Taigi, μ gali būti laikoma atsitiktiniu kintamuoju. Pasitikėjimo intervalas su pasitikėjimu p yra reikšmių pora (L_p,R_p), tokia, kad P(L_p≤μ≤R_p) = p, t. y. tikimybė, kad išmatuota vidutinė reikšmė pateks į intervalą, lygi p.

Išsamiai aptarti, kaip skaičiuojami pasitikėjimo intervalai, viršija mūsų trumpo įvado ribas. Daugiau informacijos galima rasti Vikipedijoje. Trumpai tariant, mes apibrėžiame apskaičiuoto pavyzdžio vidurkio paskirstymą, palyginti su tikru populiacijos vidurkiu, kuris vadinamas studento paskirstymu.

Įdomus faktas: Studentų paskirstymas pavadintas matematikos mokslininko William Sealy Gosset garbei, kuris savo darbą publikavo pseudonimu „Student“. Jis dirbo Guinness alaus darykloje, ir, pasak vienos versijos, jo darbdavys nenorėjo, kad visuomenė žinotų, jog jie naudoja statistinius testus žaliavų kokybei nustatyti.

Jei norime įvertinti populiacijos vidurkį μ su pasitikėjimu p, turime paimti (1-p)/2-tą procentilę iš Studentų paskirstymo A, kurią galima rasti lentelėse arba apskaičiuoti naudojant statistinės programinės įrangos (pvz., Python, R ir kt.) funkcijas. Tada μ intervalas būtų X±A*D/√n, kur X yra gautas pavyzdžio vidurkis, D yra standartinis nuokrypis.

Pastaba: Taip pat praleidžiame svarbios sąvokos laisvės laipsniai aptarimą, kuri yra svarbi studentų paskirstymui. Norėdami geriau suprasti šią sąvoką, galite kreiptis į išsamesnes statistikos knygas.

Pavyzdys, kaip apskaičiuoti pasitikėjimo intervalą svoriams ir ūgiams, pateiktas pridedamuose užrašuose.

p	Vidutinis svoris
0.85	201.73±0.94
0.90	201.73±1.08
0.95	201.73±1.28

Atkreipkite dėmesį, kad kuo didesnė pasitikėjimo tikimybė, tuo platesnis pasitikėjimo intervalas.

Hipotezių testavimas

Mūsų beisbolo žaidėjų duomenų rinkinyje yra skirtingos žaidėjų pozicijos, kurios gali būti apibendrintos žemiau (žr. pridedamą užrašų knygelę, kad pamatytumėte, kaip ši lentelė gali būti apskaičiuota):

Pozicija	Ūgis	Svoris	Kiekis
Gaudytojas	72.723684	204.328947	76
Smūgiuotojas	74.222222	220.888889	18
Pirmasis bazės žaidėjas	74.000000	213.109091	55
Lauko žaidėjas	73.010309	199.113402	194
Atsarginis metikas	74.374603	203.517460	315
Antrasis bazės žaidėjas	71.362069	184.344828	58
Trumpasis žaidėjas	71.903846	182.923077	52
Pradinis metikas	74.719457	205.163636	221
Trečiasis bazės žaidėjas	73.044444	200.955556	45

Galime pastebėti, kad pirmųjų bazės žaidėjų vidutinis ūgis yra didesnis nei antrųjų bazės žaidėjų. Taigi galime manyti, kad pirmieji bazės žaidėjai yra aukštesni nei antrieji bazės žaidėjai.

Šis teiginys vadinamas hipoteze, nes mes nežinome, ar tai iš tikrųjų tiesa.

Tačiau ne visada akivaizdu, ar galime padaryti tokią išvadą. Iš aukščiau pateiktos diskusijos žinome, kad kiekvienas vidurkis turi susijusį pasitikėjimo intervalą, todėl šis skirtumas gali būti tik statistinė klaida. Mums reikia formalesnio būdo hipotezei patikrinti.

Apskaičiuokime pasitikėjimo intervalus atskirai pirmųjų ir antrųjų bazės žaidėjų ūgiams:

Pasitikėjimas	Pirmieji bazės žaidėjai	Antrieji bazės žaidėjai
0.85	73.62..74.38	71.04..71.69
0.90	73.56..74.44	70.99..71.73
0.95	73.47..74.53	70.92..71.81

Matome, kad jokiu pasitikėjimo lygiu intervalai nesutampa. Tai įrodo mūsų hipotezę, kad pirmieji bazės žaidėjai yra aukštesni nei antrieji bazės žaidėjai.

Formaliau, problema, kurią sprendžiame, yra patikrinti, ar dvi tikimybių paskirstymo funkcijos yra vienodos, arba bent jau turi tuos pačius parametrus. Priklausomai nuo paskirstymo, tam reikia naudoti skirtingus testus. Jei žinome, kad mūsų paskirstymai yra normalūs, galime taikyti Studento t-testą.

Studento t-teste apskaičiuojame vadinamąją t-reikšmę, kuri nurodo vidurkių skirtumą, atsižvelgiant į dispersiją. Įrodyta, kad t-reikšmė atitinka studento paskirstymą, kuris leidžia mums gauti ribinę reikšmę tam tikram pasitikėjimo lygiui p (tai galima apskaičiuoti arba rasti skaitmeninėse lentelėse). Tada palyginame t-reikšmę su šia ribine reikšme, kad patvirtintume arba atmestume hipotezę.

Python programoje galime naudoti SciPy paketą, kuris apima funkciją ttest_ind (be daugelio kitų naudingų statistinių funkcijų!). Ji apskaičiuoja t-reikšmę už mus ir taip pat atlieka atvirkštinį pasitikėjimo p-reikšmės paiešką, kad galėtume tiesiog pažvelgti į pasitikėjimą ir padaryti išvadą.

Pavyzdžiui, mūsų palyginimas tarp pirmųjų ir antrųjų bazės žaidėjų ūgių duoda šiuos rezultatus:

from scipy.stats import ttest_ind

tval, pval = ttest_ind(df.loc[df['Role']=='First_Baseman',['Height']], df.loc[df['Role']=='Designated_Hitter',['Height']],equal_var=False)
print(f"T-value = {tval[0]:.2f}\nP-value: {pval[0]}")

T-value = 7.65
P-value: 9.137321189738925e-12

Mūsų atveju p-reikšmė yra labai maža, tai reiškia, kad yra stiprūs įrodymai, patvirtinantys, kad pirmieji bazės žaidėjai yra aukštesni.

Taip pat yra kitų hipotezių tipų, kuriuos galime norėti patikrinti, pavyzdžiui:

• Įrodyti, kad tam tikras pavyzdys atitinka tam tikrą paskirstymą. Mūsų atveju mes darėme prielaidą, kad ūgiai yra normaliai paskirstyti, tačiau tai reikia formaliai statistiškai patikrinti.
• Įrodyti, kad pavyzdžio vidutinė reikšmė atitinka tam tikrą iš anksto nustatytą reikšmę
• Palyginti kelių pavyzdžių vidurkius (pvz., koks yra laimės lygio skirtumas tarp skirtingų amžiaus grupių)

Didelių skaičių dėsnis ir centrinė ribinė teorema

Viena iš priežasčių, kodėl normalus paskirstymas yra toks svarbus, yra vadinamoji centrinė ribinė teorema. Tarkime, turime didelį nepriklausomų N reikšmių X₁, ..., X_N pavyzdį, paimtą iš bet kokio paskirstymo su vidurkiu μ ir dispersija σ². Tada, kai N yra pakankamai didelis (kitaip tariant, kai N→∞), vidurkis Σ_iX_i bus normaliai paskirstytas, su vidurkiu μ ir dispersija σ²/N.

Kitas būdas interpretuoti centrinę ribinę teoremą yra pasakyti, kad nepriklausomai nuo paskirstymo, kai apskaičiuojate bet kokių atsitiktinių kintamųjų reikšmių sumos vidurkį, gaunate normalų paskirstymą.

Iš centrinės ribinės teoremos taip pat išplaukia, kad, kai N→∞, tikimybė, kad pavyzdžio vidurkis bus lygus μ, tampa 1. Tai vadinama didelių skaičių dėsniu.

Kovariacija ir koreliacija

Viena iš duomenų mokslo užduočių yra rasti ryšius tarp duomenų. Sakome, kad dvi sekos koreliuoja, kai jos rodo panašų elgesį tuo pačiu metu, t. y. jos arba kyla/krenta kartu, arba viena kyla, kai kita krenta, ir atvirkščiai. Kitaip tariant, atrodo, kad tarp dviejų sekų yra tam tikras ryšys.

Koreliacija nebūtinai rodo priežastinį ryšį tarp dviejų sekų; kartais abu kintamieji gali priklausyti nuo išorinės priežasties, arba tai gali būti grynas atsitiktinumas, kad dvi sekos koreliuoja. Tačiau stipri matematinė koreliacija yra geras rodiklis, kad du kintamieji yra kažkaip susiję.

Matematiškai pagrindinė sąvoka, rodanti ryšį tarp dviejų atsitiktinių kintamųjų, yra kovariacija, kuri apskaičiuojama taip: Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]. Mes apskaičiuojame abiejų kintamųjų nuokrypį nuo jų vidutinių reikšmių, o tada šių nuokrypių sandaugą. Jei abu kintamieji nukrypsta kartu, sandauga visada bus teigiama reikšmė, kuri prisidės prie teigiamos kovariacijos. Jei abu kintamieji nukrypsta nesinchronizuotai (t. y. vienas nukrenta žemiau vidurkio, kai kitas pakyla virš vidurkio), visada gausime neigiamas reikšmes, kurios prisidės prie neigiamos kovariacijos. Jei nuokrypiai nėra priklausomi, jie maždaug sudarys nulį.

Kovariacijos absoliuti reikšmė nepasako daug apie tai, koks stiprus yra ryšys, nes ji priklauso nuo faktinių reikšmių dydžio. Norėdami ją normalizuoti, galime padalyti kovariaciją iš abiejų kintamųjų standartinio nuokrypio, kad gautume koreliaciją. Geras dalykas yra tas, kad koreliacija visada yra intervale [-1,1], kur 1 rodo stiprią teigiamą koreliaciją tarp reikšmių, -1 - stiprią neigiamą koreliaciją, o 0 - jokios koreliacijos (kintamieji yra nepriklausomi).

Pavyzdys: Galime apskaičiuoti koreliaciją tarp beisbolo žaidėjų svorių ir ūgių iš aukščiau paminėto duomenų rinkinio:

print(np.corrcoef(weights,heights))

Rezultatas yra koreliacijos matrica, panaši į šią:

array([[1.        , 0.52959196],
       [0.52959196, 1.        ]])

Koreliacijos matrica C gali būti apskaičiuota bet kokiam skaičiui įvesties sekų S₁, ..., S_n. C_ij reikšmė yra koreliacija tarp S_i ir S_j, o diagonalės elementai visada yra 1 (tai taip pat yra S_i savikoreliacija).

Mūsų atveju reikšmė 0.53 rodo, kad yra tam tikra koreliacija tarp žmogaus svorio ir ūgio. Taip pat galime sudaryti sklaidos diagramą, kurioje viena reikšmė vaizduojama prieš kitą, kad vizualiai pamatytume ryšį:

Daugiau koreliacijos ir kovariacijos pavyzdžių galima rasti pridedamoje užrašų knygelėje.

Išvada

Šioje dalyje išmokome:

• pagrindines statistines duomenų savybes, tokias kaip vidurkis, dispersija, moda ir kvartiliai
• skirtingus atsitiktinių kintamųjų paskirstymus, įskaitant normalų paskirstymą
• kaip rasti koreliaciją tarp skirtingų savybių
• kaip naudoti matematikos ir statistikos metodus hipotezėms įrodyti
• kaip apskaičiuoti pasitikėjimo intervalus atsitiktiniam kintamajam, remiantis duomenų pavyzdžiu

Nors tai tikrai nėra išsamus tikimybių ir statistikos temų sąrašas, jis turėtų būti pakankamas, kad suteiktų jums gerą pradžią šiam kursui.

🚀 Iššūkis

Naudokite pavyzdinį kodą užrašų knygelėje, kad patikrintumėte kitas hipotezes:

1. Pirmieji bazės žaidėjai yra vyresni nei antrieji bazės žaidėjai
2. Pirmieji bazės žaidėjai yra aukštesni nei trečieji bazės žaidėjai
3. Trumpieji žaidėjai yra aukštesni nei antrieji bazės žaidėjai

Po paskaitos testas

Peržiūra ir savarankiškas mokymasis

Tikimybė ir statistika yra tokia plati tema, kad ji nusipelno atskiro kurso. Jei norite gilintis į teoriją, galite tęsti skaitydami šias knygas:

1. Carlos Fernandez-Granda iš Niujorko universiteto turi puikius paskaitų užrašus Tikimybė ir statistika duomenų mokslui (prieinami internete)
2. Peter ir Andrew Bruce. Praktinė statistika duomenų mokslininkams. [pavyzdinis kodas R].
3. James D. Miller. Statistika duomenų mokslui [pavyzdinis kodas R]

Užduotis

Mažas diabeto tyrimas

Kreditas

Ši pamoka sukurta su ♥️ Dmitry Soshnikov

---

Atsakomybės apribojimas:
Šis dokumentas buvo išverstas naudojant AI vertimo paslaugą Co-op Translator. Nors siekiame tikslumo, prašome atkreipti dėmesį, kad automatiniai vertimai gali turėti klaidų ar netikslumų. Originalus dokumentas jo gimtąja kalba turėtų būti laikomas autoritetingu šaltiniu. Kritinei informacijai rekomenduojama profesionali žmogaus vertimo paslauga. Mes neprisiimame atsakomybės už nesusipratimus ar klaidingus interpretavimus, atsiradusius naudojant šį vertimą.