Data-Science-For-Beginners/translations/fi/1-Introduction/04-stats-and-probability

Tilastotieteen ja todennäköisyyden lyhyt johdanto

Tilastotiede ja todennäköisyys - Sketchnote by @nitya

Tilastotiede ja todennäköisyysteoria ovat kaksi läheisesti toisiinsa liittyvää matematiikan osa-aluetta, jotka ovat erittäin tärkeitä datatieteessä. On mahdollista käsitellä dataa ilman syvällistä matematiikan tuntemusta, mutta on silti hyödyllistä ymmärtää ainakin peruskäsitteet. Tässä esittelemme lyhyen johdannon, joka auttaa sinua pääsemään alkuun.

Esiluentovisa

Todennäköisyys ja satunnaismuuttujat

Todennäköisyys on luku välillä 0 ja 1, joka ilmaisee, kuinka todennäköinen jokin tapahtuma on. Se määritellään positiivisten lopputulosten (jotka johtavat tapahtumaan) lukumääränä jaettuna kaikkien mahdollisten lopputulosten lukumäärällä, olettaen että kaikki lopputulokset ovat yhtä todennäköisiä. Esimerkiksi, kun heitämme noppaa, todennäköisyys saada parillinen luku on 3/6 = 0,5.

Kun puhumme tapahtumista, käytämme satunnaismuuttujia. Esimerkiksi satunnaismuuttuja, joka edustaa noppaa heitettäessä saatua lukua, voi saada arvoja välillä 1–6. Lukuja 1–6 kutsutaan otosavaruudeksi. Voimme puhua todennäköisyydestä, että satunnaismuuttuja saa tietyn arvon, esimerkiksi P(X=3)=1/6.

Edellisessä esimerkissä oleva satunnaismuuttuja on diskreetti, koska sen otosavaruus on laskettavissa, eli siinä on erillisiä arvoja, jotka voidaan luetella. On myös tapauksia, joissa otosavaruus on reaaliarvojen väli tai koko reaaliarvojen joukko. Tällaisia muuttujia kutsutaan jatkuviksi. Hyvä esimerkki on bussin saapumisaika.

Todennäköisyysjakauma

Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa on helppo kuvata kunkin tapahtuman todennäköisyys funktiolla P(X). Jokaiselle otosavaruuden S arvolle s se antaa luvun välillä 0 ja 1 siten, että kaikkien tapahtumien P(X=s) arvojen summa on 1.

Tunnetuin diskreetti jakauma on tasajakauma, jossa otosavaruudessa on N elementtiä, ja jokaisella niistä on yhtä suuri todennäköisyys 1/N.

Jatkuvan muuttujan todennäköisyysjakauman kuvaaminen on vaikeampaa, kun arvot ovat peräisin jostakin välistä [a,b] tai koko reaaliarvojen joukosta ℝ. Mieti esimerkiksi bussin saapumisaikaa. Itse asiassa, jokaiselle tarkalle saapumisajalle t todennäköisyys, että bussi saapuu juuri silloin, on 0!

Nyt tiedät, että tapahtumat, joiden todennäköisyys on 0, tapahtuvat – ja vieläpä usein! Ainakin aina, kun bussi saapuu!

Voimme puhua vain todennäköisyydestä, että muuttuja osuu tietylle arvojen välille, esim. P(t₁≤X<t₂). Tässä tapauksessa todennäköisyysjakauma kuvataan tiheysfunktiolla p(x), siten että

Jatkuvan tasajakauman analogia on jatkuva tasajakauma, joka määritellään rajatulle välille. Todennäköisyys, että arvo X osuu välin pituuteen l, on verrannollinen l:ään ja kasvaa arvoon 1.

Toinen tärkeä jakauma on normaalijakauma, josta puhumme tarkemmin myöhemmin.

Keskiarvo, varianssi ja keskihajonta

Oletetaan, että otamme n näytettä satunnaismuuttujasta X: x₁, x₂, ..., x_n. Voimme määritellä sarjan keskiarvon (tai aritmeettisen keskiarvon) perinteisellä tavalla kaavalla (x₁+x₂+x_n)/n. Kun kasvatamme otoksen kokoa (eli otamme rajan n→∞), saamme jakauman keskiarvon (jota kutsutaan myös odotusarvoksi). Merkitsemme odotusarvoa E(x).

On osoitettavissa, että mille tahansa diskreetille jakaumalle, jonka arvot ovat {x₁, x₂, ..., x_N} ja vastaavat todennäköisyydet p₁, p₂, ..., p_N, odotusarvo on E(X)=x₁p₁+x₂p₂+...+x_Np_N.

Arvojen hajonnan selvittämiseksi voimme laskea varianssin σ² = ∑(x_i - μ)²/n, missä μ on sarjan keskiarvo. Arvoa σ kutsutaan keskihajonnaksi, ja σ² on varianssi.

Moodi, mediaani ja kvartiilit

Joskus keskiarvo ei kuvaa riittävästi "tyypillistä" arvoa datalle. Esimerkiksi, jos datassa on muutamia äärimmäisiä arvoja, ne voivat vaikuttaa keskiarvoon. Toinen hyvä mittari on mediaani, arvo, jonka alapuolella on puolet datan arvoista ja yläpuolella toinen puoli.

Datan jakauman ymmärtämiseksi on hyödyllistä puhua kvartiileista:

• Ensimmäinen kvartiili, eli Q1, on arvo, jonka alapuolella on 25 % datasta
• Kolmas kvartiili, eli Q3, on arvo, jonka alapuolella on 75 % datasta

Graafisesti voimme esittää mediaanin ja kvartiilien suhteen diagrammissa, jota kutsutaan laatikko- ja viiksikaavioksi:

Tässä laskemme myös kvartiilivälin IQR=Q3-Q1 ja niin sanotut poikkeamat – arvot, jotka ovat alueen [Q1-1.5IQR,Q3+1.5IQR] ulkopuolella.

Pienelle diskreetille jakaumalle, jossa on vain muutamia mahdollisia arvoja, hyvä "tyypillinen" arvo on yleisin arvo, jota kutsutaan moodiksi. Tätä käytetään usein kategorisessa datassa, kuten väreissä. Mieti tilannetta, jossa on kaksi ryhmää ihmisiä – toiset suosivat vahvasti punaista ja toiset sinistä. Jos koodaisimme värit numeroilla, suosikkivärin keskiarvo olisi jossain oranssin ja vihreän välillä, mikä ei kuvaisi kummankaan ryhmän todellista mieltymystä. Moodi olisi kuitenkin jompikumpi väreistä tai molemmat, jos niiden kannattajien määrä on sama (tässä tapauksessa otosta kutsutaan monimodaaliseksi).

Reaaliaikainen data

Kun analysoimme tosielämän dataa, ne eivät usein ole varsinaisia satunnaismuuttujia siinä mielessä, että emme suorita kokeita tuntemattomilla tuloksilla. Esimerkiksi, ajatellaan baseball-pelaajien joukkuetta ja heidän kehon mittojaan, kuten pituutta, painoa ja ikää. Nämä luvut eivät ole täysin satunnaisia, mutta voimme silti soveltaa samoja matemaattisia käsitteitä. Esimerkiksi ihmisten painojen sarjaa voidaan pitää jonkin satunnaismuuttujan arvojen sarjana. Alla on sarja painoja oikeilta baseball-pelaajilta Major League Baseballista, otettuna tästä datasetistä (mukavuussyistä vain ensimmäiset 20 arvoa on näytetty):

[180.0, 215.0, 210.0, 210.0, 188.0, 176.0, 209.0, 200.0, 231.0, 180.0, 188.0, 180.0, 185.0, 160.0, 180.0, 185.0, 197.0, 189.0, 185.0, 219.0]

Note: Katso esimerkki tämän datasetin käsittelystä liitteenä olevasta muistikirjasta. Tässä oppitunnissa on myös useita haasteita, jotka voit suorittaa lisäämällä koodia muistikirjaan. Jos et ole varma, miten dataa käsitellään, älä huoli – palaamme datan käsittelyyn Pythonilla myöhemmin. Jos et tiedä, miten suorittaa koodia Jupyter Notebookissa, katso tämä artikkeli.

Tässä on laatikko- ja viiksikaavio, joka näyttää datan keskiarvon, mediaanin ja kvartiilit:

Koska datamme sisältää tietoa eri pelaajien rooleista, voimme myös tehdä laatikkokaavion roolin mukaan – tämä antaa käsityksen siitä, miten parametrien arvot eroavat roolien välillä. Tällä kertaa tarkastelemme pituutta:

Tämä diagrammi viittaa siihen, että keskimäärin ensimmäisen pesän pelaajat ovat pidempiä kuin toisen pesän pelaajat. Myöhemmin tässä oppitunnissa opimme, miten voimme testata tätä hypoteesia tarkemmin ja osoittaa, että datamme on tilastollisesti merkittävää tämän osoittamiseksi.

Kun työskentelemme tosielämän datan kanssa, oletamme, että kaikki datapisteet ovat otoksia jostakin todennäköisyysjakaumasta. Tämä oletus mahdollistaa koneoppimistekniikoiden soveltamisen ja toimivien ennustemallien rakentamisen.

Jakauman hahmottamiseksi voimme piirtää histogrammin. X-akselilla on eri painovälien lukumäärä (ns. bin-välejä), ja pystyakselilla näytetään, kuinka monta kertaa satunnaismuuttujan otos osui tietylle välille.

Tästä histogrammista näet, että kaikki arvot keskittyvät tietyn keskipainon ympärille, ja mitä kauemmas tästä painosta mennään, sitä harvemmin kyseistä painoa esiintyy. Toisin sanoen, on hyvin epätodennäköistä, että baseball-pelaajan paino poikkeaisi merkittävästi keskipainosta. Painojen varianssi osoittaa, kuinka paljon painot todennäköisesti poikkeavat keskiarvosta.

Jos otamme painoja muilta ihmisiltä, jotka eivät ole baseball-liigasta, jakauma on todennäköisesti erilainen. Jakauman muoto pysyy kuitenkin samana, mutta keskiarvo ja varianssi muuttuvat. Jos siis koulutamme mallimme baseball-pelaajilla, se todennäköisesti antaa vääriä tuloksia, kun sitä sovelletaan yliopisto-opiskelijoihin, koska taustalla oleva jakauma on erilainen.

Normaalijakauma

Painojen jakauma, jonka näimme yllä, on hyvin tyypillinen, ja monet tosielämän mittaukset noudattavat samaa jakaumatyyppiä, mutta eri keskiarvolla ja varianssilla. Tätä jakaumaa kutsutaan normaalijakaumaksi, ja sillä on erittäin tärkeä rooli tilastotieteessä.

Normaalijakauman käyttäminen on oikea tapa luoda satunnaisia painoja mahdollisille baseball-pelaajille. Kun tiedämme keskipainon mean ja keskihajonnan std, voimme luoda 1000 painonäytettä seuraavasti:

samples = np.random.normal(mean,std,1000)

Jos piirrämme luotujen näytteiden histogrammin, näemme kuvan, joka on hyvin samanlainen kuin yllä oleva. Ja jos lisäämme näytteiden ja binien määrää, voimme luoda kuvan normaalijakaumasta, joka on lähempänä ideaalia:

Normaalijakauma, keskiarvo=0 ja keskihajonta=1

Luottamusvälit

Kun puhumme baseball-pelaajien painoista, oletamme, että on olemassa tietty satunnaismuuttuja W, joka vastaa ideaalista todennäköisyysjakaumaa kaikkien baseball-pelaajien painoille (ns. populaatio). Painosarjamme vastaa otosta kaikista baseball-pelaajista, jota kutsumme otokseksi. Mielenkiintoinen kysymys on, voimmeko tietää W:n jakauman parametrit, eli populaation keskiarvon ja varianssin?

Helpoin vastaus olisi laskea otoksen keskiarvo ja varianssi. Kuitenkin voi käydä niin, että satunnainen otoksemme ei edusta tarkasti koko populaatiota. Siksi on järkevää puhua luottamusvälistä.

Luottamusväli on arvio populaation todellisesta keskiarvosta annetun otoksen perusteella, joka on tarkka tietyllä todennäköisyydellä (tai luottamustasolla). Oletetaan, että meillä on otos X₁, ..., X_n jakaumastamme. Joka kerta, kun otamme otoksen jakaumastamme, päädymme eri keskiarvoon μ. Näin ollen μ voidaan pitää satunnaismuuttujana. Luottamusväli luottamustasolla p on arvojen pari (L_p,R_p), siten että P(L_p≤μ≤R_p) = p, eli mitatun keskiarvon todennäköisyys osua välin sisälle on p.

Tarkempi keskustelu siitä, miten nämä luottamusvälit lasketaan, menee lyhyen johdantomme ulkopuolelle. Lisätietoja löytyy Wikipediasta. Lyhyesti sanottuna määrittelemme lasketun otoskeskiarvon jakauman suhteessa populaation todelliseen keskiarvoon, jota kutsutaan Student-jakaumaksi.

Mielenkiintoinen fakta: Student-jakauma on nimetty matemaatikko William Sealy Gossetin mukaan, joka julkaisi tutkimuksensa salanimellä "Student". Hän työskenteli Guinnessin panimossa, ja erään version mukaan hänen työnantajansa ei halunnut yleisön tietävän, että he käyttivät tilastollisia testejä raaka-aineiden laadun määrittämiseen.

Jos haluamme arvioida populaation keskiarvon μ luottamustasolla p, meidän täytyy ottaa (1-p)/2-prosenttipiste Student-jakaumasta A, joka voidaan joko ottaa taulukoista tai laskea tilasto-ohjelmistojen sisäänrakennetuilla funktioilla (esim. Python, R jne.). Tällöin μ:n väli olisi X±A*D/√n, missä X on otoksen saatu keskiarvo ja D on keskihajonta.

Huomio: Jätämme myös käsittelemättä tärkeän käsitteen vapausasteet, joka on tärkeä Student-jakauman yhteydessä. Voit tutustua kattavampiin tilastotieteen kirjoihin ymmärtääksesi tämän käsitteen syvällisemmin.

Esimerkki painojen ja pituuksien luottamusvälin laskemisesta löytyy liitteenä olevista muistikirjoista.

p	Painon keskiarvo
0.85	201.73±0.94
0.90	201.73±1.08
0.95	201.73±1.28

Huomaa, että mitä korkeampi luottamustodennäköisyys, sitä laajempi luottamusväli.

Hypoteesin testaus

Baseball-pelaajien datasetissä on erilaisia pelaajarooleja, jotka voidaan tiivistää alla (katso liitteenä oleva muistikirja, jossa näytetään, miten tämä taulukko voidaan laskea):

Rooli	Pituus	Paino	Lukumäärä
Catcher	72.723684	204.328947	76
Designated_Hitter	74.222222	220.888889	18
First_Baseman	74.000000	213.109091	55
Outfielder	73.010309	199.113402	194
Relief_Pitcher	74.374603	203.517460	315
Second_Baseman	71.362069	184.344828	58
Shortstop	71.903846	182.923077	52
Starting_Pitcher	74.719457	205.163636	221
Third_Baseman	73.044444	200.955556	45

Voimme huomata, että ensimmäisten basemenien keskipituus on korkeampi kuin toisten basemenien. Näin ollen voimme olla houkuteltuja päättelemään, että ensimmäiset basemenit ovat pidempiä kuin toiset basemenit.

Tätä väittämää kutsutaan hypoteesiksi, koska emme tiedä, onko väite oikeasti totta vai ei.

Kuitenkin ei ole aina selvää, voimmeko tehdä tämän johtopäätöksen. Yllä olevasta keskustelusta tiedämme, että jokaisella keskiarvolla on siihen liittyvä luottamusväli, ja näin ollen tämä ero voi olla vain tilastollinen virhe. Tarvitsemme jonkin muodollisemman tavan testata hypoteesimme.

Lasketaan luottamusvälit erikseen ensimmäisten ja toisten basemenien pituuksille:

Luottamus	Ensimmäiset basemenit	Toiset basemenit
0.85	73.62..74.38	71.04..71.69
0.90	73.56..74.44	70.99..71.73
0.95	73.47..74.53	70.92..71.81

Voimme nähdä, että millään luottamustasolla välit eivät mene päällekkäin. Tämä todistaa hypoteesimme, että ensimmäiset basemenit ovat pidempiä kuin toiset basemenit.

Muodollisemmin, ongelma, jota ratkaisimme, on nähdä, ovatko kaksi todennäköisyysjakaumaa samoja, tai ainakin onko niillä samat parametrit. Riippuen jakaumasta, meidän täytyy käyttää erilaisia testejä. Jos tiedämme, että jakaumamme ovat normaalijakaumia, voimme soveltaa Studentin t-testiä.

Studentin t-testissä laskemme niin sanotun t-arvon, joka osoittaa keskiarvojen eron ottaen huomioon varianssin. On osoitettu, että t-arvo noudattaa Student-jakaumaa, mikä mahdollistaa kynnysarvon saamisen annetulle luottamustasolle p (tämä voidaan laskea tai katsoa numeerisista taulukoista). Vertailemme sitten t-arvoa tähän kynnysarvoon hyväksyäksemme tai hylätäksemme hypoteesin.

Pythonissa voimme käyttää SciPy-pakettia, joka sisältää ttest_ind-funktion (lisäksi monia muita hyödyllisiä tilastollisia funktioita!). Se laskee t-arvon puolestamme ja tekee myös käänteisen luottamustason p-arvon haun, jotta voimme vain katsoa luottamustasoa tehdäksemme johtopäätöksen.

Esimerkiksi vertailumme ensimmäisten ja toisten basemenien pituuksista antaa meille seuraavat tulokset:

from scipy.stats import ttest_ind

tval, pval = ttest_ind(df.loc[df['Role']=='First_Baseman',['Height']], df.loc[df['Role']=='Designated_Hitter',['Height']],equal_var=False)
print(f"T-value = {tval[0]:.2f}\nP-value: {pval[0]}")

T-value = 7.65
P-value: 9.137321189738925e-12

Tässä tapauksessa p-arvo on hyvin alhainen, mikä tarkoittaa, että on vahvaa näyttöä siitä, että ensimmäiset basemenit ovat pidempiä.

On myös muita hypoteeseja, joita voimme testata, esimerkiksi:

• Todistaa, että annettu otos noudattaa jotain jakaumaa. Meidän tapauksessamme olemme olettaneet, että pituudet ovat normaalijakautuneita, mutta tämä vaatii muodollisen tilastollisen vahvistuksen.
• Todistaa, että otoksen keskiarvo vastaa jotain ennalta määritettyä arvoa
• Verrata useiden otosten keskiarvoja (esim. mikä on onnellisuustasojen ero eri ikäryhmien välillä)

Suurten lukujen laki ja keskeinen raja-arvolause

Yksi syy siihen, miksi normaalijakauma on niin tärkeä, on niin sanottu keskeinen raja-arvolause. Oletetaan, että meillä on suuri otos riippumattomia N arvoja X₁, ..., X_N, jotka on otettu mistä tahansa jakaumasta, jonka keskiarvo on μ ja varianssi σ². Tällöin, kun N on riittävän suuri (toisin sanoen kun N→∞), keskiarvo Σ_iX_i olisi normaalijakautunut, keskiarvolla μ ja varianssilla σ²/N.

Toinen tapa tulkita keskeistä raja-arvolausetta on sanoa, että riippumatta jakaumasta, kun lasket satunnaismuuttujien summan keskiarvon, päädyt normaalijakaumaan.

Keskeisestä raja-arvolauseesta seuraa myös, että kun N→∞, otoskeskiarvon todennäköisyys olla yhtä suuri kuin μ lähestyy 1. Tämä tunnetaan nimellä suurten lukujen laki.

Kovarianssi ja korrelaatio

Yksi asioista, joita data-analytiikka tekee, on löytää yhteyksiä datan välillä. Sanomme, että kaksi sarjaa korreloivat, kun ne käyttäytyvät samankaltaisesti samaan aikaan, eli ne joko nousevat/laskevat samanaikaisesti, tai yksi sarja nousee, kun toinen laskee ja päinvastoin. Toisin sanoen, kahden sarjan välillä näyttää olevan jokin yhteys.

Korrelaatio ei välttämättä tarkoita kausaalista yhteyttä kahden sarjan välillä; joskus molemmat muuttujat voivat riippua jostain ulkoisesta syystä, tai voi olla pelkkää sattumaa, että kaksi sarjaa korreloivat. Kuitenkin vahva matemaattinen korrelaatio on hyvä merkki siitä, että kaksi muuttujaa ovat jollain tavalla yhteydessä.

Matemaattisesti pääkäsite, joka osoittaa kahden satunnaismuuttujan välisen yhteyden, on kovarianssi, joka lasketaan näin: Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]. Laskemme molempien muuttujien poikkeaman niiden keskiarvoista ja sitten näiden poikkeamien tulon. Jos molemmat muuttujat poikkeavat yhdessä, tulo on aina positiivinen arvo, joka lisää positiivista kovarianssia. Jos molemmat muuttujat poikkeavat epäsynkronisesti (eli yksi laskee keskiarvon alapuolelle, kun toinen nousee keskiarvon yläpuolelle), saamme aina negatiivisia lukuja, jotka lisäävät negatiivista kovarianssia. Jos poikkeamat eivät ole riippuvaisia, ne lisäävät suunnilleen nollan.

Kovarianssin absoluuttinen arvo ei kerro paljon siitä, kuinka suuri korrelaatio on, koska se riippuu todellisten arvojen suuruudesta. Normalisoidaksemme sen voimme jakaa kovarianssin molempien muuttujien keskihajonnalla saadaksemme korrelaation. Hyvä asia on, että korrelaatio on aina välillä [-1,1], missä 1 tarkoittaa vahvaa positiivista korrelaatiota arvojen välillä, -1 - vahvaa negatiivista korrelaatiota ja 0 - ei korrelaatiota ollenkaan (muuttujat ovat riippumattomia).

Esimerkki: Voimme laskea korrelaation baseball-pelaajien painojen ja pituuksien välillä yllä mainitusta datasetistä:

print(np.corrcoef(weights,heights))

Tuloksena saamme korrelaatiomatriisin, joka näyttää tältä:

array([[1.        , 0.52959196],
       [0.52959196, 1.        ]])

Korrelaatiomatriisi C voidaan laskea mille tahansa määrälle syötteitä S₁, ..., S_n. C_ij-arvo on korrelaatio S_i:n ja S_j:n välillä, ja diagonaalielementit ovat aina 1 (joka on myös S_i:n itsekorrelaatio).

Tässä tapauksessa arvo 0.53 osoittaa, että painon ja pituuden välillä on jonkin verran korrelaatiota. Voimme myös tehdä hajontakaavion yhdestä arvosta toista vastaan nähdäksesi yhteyden visuaalisesti:

Lisää esimerkkejä korrelaatiosta ja kovarianssista löytyy liitteenä olevasta muistikirjasta.

Yhteenveto

Tässä osiossa olemme oppineet:

• datan perus tilastolliset ominaisuudet, kuten keskiarvo, varianssi, moodi ja kvartiilit
• satunnaismuuttujien eri jakaumat, mukaan lukien normaalijakauma
• kuinka löytää korrelaatio eri ominaisuuksien välillä
• kuinka käyttää matematiikan ja tilastotieteen vankkaa välineistöä hypoteesien todistamiseen
• kuinka laskea satunnaismuuttujan luottamusväli annetun otoksen perusteella

Vaikka tämä ei ole tyhjentävä lista todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen aiheista, sen pitäisi riittää antamaan sinulle hyvä lähtökohta tähän kurssiin.

🚀 Haaste

Käytä muistikirjan esimerkkikoodia testataksesi muita hypoteeseja:

1. Ensimmäiset basemenit ovat vanhempia kuin toiset basemenit
2. Ensimmäiset basemenit ovat pidempiä kuin kolmannet basemenit
3. Shortstopit ovat pidempiä kuin toiset basemenit

Luennon jälkeinen kysely

Kertaus ja itseopiskelu

Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede ovat niin laajoja aiheita, että ne ansaitsevat oman kurssinsa. Jos olet kiinnostunut syventymään teoriaan, voit jatkaa lukemalla joitakin seuraavista kirjoista:

1. Carlos Fernandez-Granda New Yorkin yliopistosta on laatinut erinomaiset luentomuistiinpanot Probability and Statistics for Data Science (saatavilla verkossa)
2. Peter ja Andrew Bruce. Practical Statistics for Data Scientists. [esimerkkikoodi R:ssä].
3. James D. Miller. Statistics for Data Science [esimerkkikoodi R:ssä]

Tehtävä

Pieni diabetes-tutkimus

Tekijät

Tämän oppitunnin on kirjoittanut ♥️:llä Dmitry Soshnikov

---

Vastuuvapauslauseke:
Tämä asiakirja on käännetty käyttämällä tekoälypohjaista käännöspalvelua Co-op Translator. Vaikka pyrimme tarkkuuteen, huomioithan, että automaattiset käännökset voivat sisältää virheitä tai epätarkkuuksia. Alkuperäistä asiakirjaa sen alkuperäisellä kielellä tulisi pitää ensisijaisena lähteenä. Kriittisen tiedon osalta suositellaan ammattimaista ihmiskäännöstä. Emme ole vastuussa väärinkäsityksistä tai virhetulkinnoista, jotka johtuvat tämän käännöksen käytöstä.