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18 KiB
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18 KiB
{
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"cells": [
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{
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"cell_type": "markdown",
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"metadata": {},
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"source": [
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"# Introdução à Probabilidade e Estatística\n",
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|
"Neste caderno, iremos experimentar alguns dos conceitos que discutimos anteriormente. Muitos conceitos de probabilidade e estatística estão bem representados em bibliotecas principais para processamento de dados em Python, como `numpy` e `pandas`.\n"
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]
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},
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{
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"cell_type": "code",
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"execution_count": null,
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"metadata": {},
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|
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|
"import numpy as np\n",
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"import pandas as pd\n",
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"import random\n",
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"import matplotlib.pyplot as plt"
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]
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},
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"cell_type": "markdown",
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"metadata": {},
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"source": [
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"## Variáveis Aleatórias e Distribuições\n",
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|
"Vamos começar por tirar uma amostra de 30 valores de uma distribuição uniforme de 0 a 9. Também iremos calcular a média e a variância.\n"
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]
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},
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{
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"cell_type": "code",
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"execution_count": null,
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|
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"outputs": [],
|
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"source": [
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|
"sample = [ random.randint(0,10) for _ in range(30) ]\n",
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|
"print(f\"Sample: {sample}\")\n",
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"print(f\"Mean = {np.mean(sample)}\")\n",
|
|
"print(f\"Variance = {np.var(sample)}\")"
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|
]
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},
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{
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"cell_type": "markdown",
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"metadata": {},
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"source": [
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|
"Para estimar visualmente quantos valores diferentes existem na amostra, podemos traçar o **histograma**:\n"
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|
]
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},
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{
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|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
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"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.hist(sample)\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
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},
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{
|
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"cell_type": "markdown",
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"metadata": {},
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"source": [
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|
"## Analisando Dados Reais\n",
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"\n",
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|
"A média e a variância são muito importantes ao analisar dados do mundo real. Vamos carregar os dados sobre jogadores de basebol de [SOCR MLB Height/Weight Data](http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_Data_MLB_HeightsWeights)\n"
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|
]
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},
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{
|
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"cell_type": "code",
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|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"df = pd.read_csv(\"../../data/SOCR_MLB.tsv\",sep='\\t', header=None, names=['Name','Team','Role','Weight','Height','Age'])\n",
|
|
"df\n"
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]
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},
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{
|
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"cell_type": "markdown",
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|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"> Estamos a usar um pacote chamado [**Pandas**](https://pandas.pydata.org/) aqui para análise de dados. Vamos falar mais sobre o Pandas e o trabalho com dados em Python mais adiante neste curso.\n",
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"\n",
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|
"Vamos calcular valores médios para idade, altura e peso:\n"
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|
]
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|
},
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{
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|
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|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"df[['Age','Height','Weight']].mean()"
|
|
]
|
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},
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{
|
|
"cell_type": "markdown",
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|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Agora vamos focar na altura e calcular o desvio padrão e a variância: \n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"print(list(df['Height'])[:20])"
|
|
]
|
|
},
|
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{
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|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"mean = df['Height'].mean()\n",
|
|
"var = df['Height'].var()\n",
|
|
"std = df['Height'].std()\n",
|
|
"print(f\"Mean = {mean}\\nVariance = {var}\\nStandard Deviation = {std}\")"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Para além da média, faz sentido olhar para o valor mediano e os quartis. Eles podem ser visualizados usando um **diagrama de caixas**:\n"
|
|
]
|
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},
|
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{
|
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|
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"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
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"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.figure(figsize=(10,2))\n",
|
|
"plt.boxplot(df['Height'].ffill(), orientation='horizontal', showmeans=True)\n",
|
|
"plt.grid(color='gray', linestyle='dotted')\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Também podemos criar boxplots de subconjuntos do nosso conjunto de dados, por exemplo, agrupados por função do jogador.\n"
|
|
]
|
|
},
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|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"df.boxplot(column='Height', by='Role', figsize=(10,8))\n",
|
|
"plt.xticks(rotation='vertical')\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
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|
"> **Nota**: Este diagrama sugere que, em média, as alturas dos primeira bases são superiores às alturas dos segunda bases. Mais adiante, iremos aprender como podemos testar esta hipótese de forma mais formal, e como demonstrar que os nossos dados são estatisticamente significativos para o mostrar. \n",
|
|
"\n",
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|
"A idade, a altura e o peso são todas variáveis aleatórias contínuas. O que acha que será a sua distribuição? Uma boa forma de descobrir é traçar o histograma dos valores: \n"
|
|
]
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},
|
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{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"df['Weight'].hist(bins=15, figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.suptitle('Weight distribution of MLB Players')\n",
|
|
"plt.xlabel('Weight')\n",
|
|
"plt.ylabel('Count')\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"## Distribuição Normal\n",
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|
"\n",
|
|
"Vamos criar uma amostra artificial de pesos que segue uma distribuição normal com a mesma média e variância que os nossos dados reais:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"generated = np.random.normal(mean, std, 1000)\n",
|
|
"generated[:20]"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.hist(generated, bins=15)\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
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{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.hist(np.random.normal(0,1,50000), bins=300)\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Como a maioria dos valores na vida real está normalmente distribuída, não devemos usar um gerador de números aleatórios uniforme para gerar dados de amostra. Aqui está o que acontece se tentarmos gerar pesos com uma distribuição uniforme (gerada por `np.random.rand`):\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"wrong_sample = np.random.rand(1000)*2*std+mean-std\n",
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.hist(wrong_sample)\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"## Intervalos de Confiança\n",
|
|
"\n",
|
|
"Vamos agora calcular os intervalos de confiança para os pesos e alturas dos jogadores de basebol. Vamos usar o código [desta discussão no stackoverflow](https://stackoverflow.com/questions/15033511/compute-a-confidence-interval-from-sample-data):\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"import scipy.stats\n",
|
|
"\n",
|
|
"def mean_confidence_interval(data, confidence=0.95):\n",
|
|
" a = 1.0 * np.array(data)\n",
|
|
" n = len(a)\n",
|
|
" m, se = np.mean(a), scipy.stats.sem(a)\n",
|
|
" h = se * scipy.stats.t.ppf((1 + confidence) / 2., n-1)\n",
|
|
" return m, h\n",
|
|
"\n",
|
|
"for p in [0.85, 0.9, 0.95]:\n",
|
|
" m, h = mean_confidence_interval(df['Weight'].ffill(),p)\n",
|
|
" print(f\"p={p:.2f}, mean = {m:.2f} ± {h:.2f}\")"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"## Teste de Hipóteses\n",
|
|
"\n",
|
|
"Vamos explorar diferentes funções no nosso conjunto de dados de jogadores de basebol:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"df.groupby('Role').agg({ 'Weight' : 'mean', 'Height' : 'mean', 'Age' : 'count'}).rename(columns={ 'Age' : 'Count'})"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Vamos testar a hipótese de que os Primeiros-Baseman são mais altos do que os Segundos-Baseman. A forma mais simples de fazer isto é testar os intervalos de confiança:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"for p in [0.85,0.9,0.95]:\n",
|
|
" m1, h1 = mean_confidence_interval(df.loc[df['Role']=='First_Baseman',['Height']],p)\n",
|
|
" m2, h2 = mean_confidence_interval(df.loc[df['Role']=='Second_Baseman',['Height']],p)\n",
|
|
" print(f'Conf={p:.2f}, 1st basemen height: {m1-h1[0]:.2f}..{m1+h1[0]:.2f}, 2nd basemen height: {m2-h2[0]:.2f}..{m2+h2[0]:.2f}')"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Podemos ver que os intervalos não se sobrepõem.\n",
|
|
"\n",
|
|
"Uma forma estatisticamente mais correta de provar a hipótese é usar um **teste t de Student**:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"from scipy.stats import ttest_ind\n",
|
|
"\n",
|
|
"tval, pval = ttest_ind(df.loc[df['Role']=='First_Baseman',['Height']], df.loc[df['Role']=='Second_Baseman',['Height']],equal_var=False)\n",
|
|
"print(f\"T-value = {tval[0]:.2f}\\nP-value: {pval[0]}\")"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Os dois valores devolvidos pela função `ttest_ind` são:\n",
|
|
"* o valor-p pode ser considerado como a probabilidade de duas distribuições terem a mesma média. No nosso caso, é muito baixo, o que significa que há uma forte evidência a apoiar que os primeira-base são mais altos.\n",
|
|
"* o valor-t é o valor intermédio da diferença média normalizada que é usado no teste t, e é comparado com um valor limite para um dado valor de confiança.\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"## Simulando uma Distribuição Normal com o Teorema do Limite Central\n",
|
|
"\n",
|
|
"O gerador pseudo-aleatório em Python é desenhado para nos dar uma distribuição uniforme. Se quisermos criar um gerador para distribuição normal, podemos usar o teorema do limite central. Para obter um valor com distribuição normal, basta calcular a média de uma amostra gerada uniformemente.\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"def normal_random(sample_size=100):\n",
|
|
" sample = [random.uniform(0,1) for _ in range(sample_size) ]\n",
|
|
" return sum(sample)/sample_size\n",
|
|
"\n",
|
|
"sample = [normal_random() for _ in range(100)]\n",
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.hist(sample)\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"## Correlação e Evil Baseball Corp\n",
|
|
"\n",
|
|
"A correlação permite-nos encontrar relações entre sequências de dados. No nosso exemplo lúdico, vamos fingir que existe uma corporação malvada de baseball que paga os seus jogadores de acordo com a sua altura - quanto mais alto for o jogador, mais dinheiro ele/ela recebe. Suponha-se um salário base de $1000, e um bónus adicional de $0 a $100, dependendo da altura. Vamos pegar nos jogadores reais da MLB, e calcular os seus salários imaginários:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"heights = df['Height'].ffill()\n",
|
|
"salaries = 1000+(heights-heights.min())/(heights.max()-heights.mean())*100\n",
|
|
"print(list(zip(heights, salaries))[:10])"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Vamos agora calcular a covariância e a correlação dessas sequências. `np.cov` dará uma chamada **matriz de covariância**, que é uma extensão da covariância para múltiplas variáveis. O elemento $M_{ij}$ da matriz de covariância $M$ é uma correlação entre as variáveis de entrada $X_i$ e $X_j$, e os valores diagonais $M_{ii}$ são a variância de $X_{i}$. De forma semelhante, `np.corrcoef` dará a **matriz de correlação**.\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"print(f\"Covariance matrix:\\n{np.cov(heights, salaries)}\")\n",
|
|
"print(f\"Covariance = {np.cov(heights, salaries)[0,1]}\")\n",
|
|
"print(f\"Correlation = {np.corrcoef(heights, salaries)[0,1]}\")"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Uma correlação igual a 1 significa que existe uma forte **relação linear** entre duas variáveis. Podemos ver visualmente a relação linear ao traçar um valor em relação ao outro:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.scatter(heights,salaries)\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Vamos ver o que acontece se a relação não for linear. Suponha que a nossa empresa decidiu esconder a óbvia dependência linear entre alturas e salários, e introduziu alguma não linearidade na fórmula, como `sin`:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"salaries = 1000+np.sin((heights-heights.min())/(heights.max()-heights.mean()))*100\n",
|
|
"print(f\"Correlation = {np.corrcoef(heights, salaries)[0,1]}\")"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Neste caso, a correlação é ligeiramente menor, mas continua bastante elevada. Agora, para tornar a relação ainda menos óbvia, poderíamos querer adicionar alguma aleatoriedade extra, acrescentando uma variável aleatória ao salário. Vamos ver o que acontece:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"salaries = 1000+np.sin((heights-heights.min())/(heights.max()-heights.mean()))*100+np.random.random(size=len(heights))*20-10\n",
|
|
"print(f\"Correlation = {np.corrcoef(heights, salaries)[0,1]}\")"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.scatter(heights, salaries)\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"> Consegue adivinhar porque é que os pontos se alinham em linhas verticais assim?\n",
|
|
"\n",
|
|
"Observámos a correlação entre um conceito artificialmente criado como o salário e a variável observada *altura*. Vamos também ver se as duas variáveis observadas, como altura e peso, também se correlacionam:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"np.corrcoef(df['Height'].ffill(),df['Weight'])"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Infelizmente, não obtivemos quaisquer resultados - apenas alguns valores estranhos `nan`. Isto deve-se ao facto de algumas das valores na nossa série serem indefinidos, representados como `nan`, o que faz com que o resultado da operação seja também indefinido. Ao olhar para a matriz podemos ver que `Weight` é a coluna problemática, porque foi calculada a autocorrelação entre os valores de `Height`.\n",
|
|
"\n",
|
|
"> Este exemplo mostra a importância da **preparação** e **limpeza** dos dados. Sem dados adequados não podemos calcular nada.\n",
|
|
"\n",
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|
"Vamos usar o método `fillna` para preencher os valores em falta, e calcular a correlação:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"np.corrcoef(df['Height'].ffill(), df['Weight'])"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"Existe de facto uma correlação, mas não tão forte como no nosso exemplo artificial. De facto, se olharmos para o gráfico de dispersão de um valor em relação ao outro, a relação seria muito menos óbvia:\n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "code",
|
|
"execution_count": null,
|
|
"metadata": {},
|
|
"outputs": [],
|
|
"source": [
|
|
"plt.figure(figsize=(10,6))\n",
|
|
"plt.scatter(df['Weight'],df['Height'])\n",
|
|
"plt.xlabel('Weight')\n",
|
|
"plt.ylabel('Height')\n",
|
|
"plt.tight_layout()\n",
|
|
"plt.show()"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"## Conclusão\n",
|
|
"\n",
|
|
"Neste caderno aprendemos como realizar operações básicas em dados para calcular funções estatísticas. Agora sabemos como usar um conjunto sólido de matemática e estatística para provar algumas hipóteses, e como calcular intervalos de confiança para variáveis arbitrárias dado um conjunto de dados. \n"
|
|
]
|
|
},
|
|
{
|
|
"cell_type": "markdown",
|
|
"metadata": {},
|
|
"source": [
|
|
"---\n\n<!-- CO-OP TRANSLATOR DISCLAIMER START -->\n**Aviso Legal**:\nEste documento foi traduzido utilizando o serviço de tradução automática [Co-op Translator](https://github.com/Azure/co-op-translator). Embora nos esforcemos pela precisão, esteja ciente de que traduções automáticas podem conter erros ou imprecisões. O documento original na sua língua nativa deve ser considerado a fonte autorizada. Para informações críticas, recomenda-se tradução profissional humana. Não nos responsabilizamos por quaisquer mal-entendidos ou interpretações incorretas resultantes da utilização desta tradução.\n<!-- CO-OP TRANSLATOR DISCLAIMER END -->\n"
|
|
]
|
|
}
|
|
],
|
|
"metadata": {
|
|
"interpreter": {
|
|
"hash": "86193a1ab0ba47eac1c69c1756090baa3b420b3eea7d4aafab8b85f8b312f0c5"
|
|
},
|
|
"kernelspec": {
|
|
"display_name": "Python 3 (ipykernel)",
|
|
"language": "python",
|
|
"name": "python3"
|
|
},
|
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"language_info": {
|
|
"codemirror_mode": {
|
|
"name": "ipython",
|
|
"version": 3
|
|
},
|
|
"file_extension": ".py",
|
|
"mimetype": "text/x-python",
|
|
"name": "python",
|
|
"nbconvert_exporter": "python",
|
|
"pygments_lexer": "ipython3",
|
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"version": "3.9.6"
|
|
}
|
|
},
|
|
"nbformat": 4,
|
|
"nbformat_minor": 4
|
|
} |