# Krótkie wprowadzenie do statystyki i teorii prawdopodobieństwa | ](../../sketchnotes/04-Statistics-Probability.png)| |:---:| | Statystyka i prawdopodobieństwo - _Sketchnote autorstwa [@nitya](https://twitter.com/nitya)_ | Statystyka i teoria prawdopodobieństwa to dwa ściśle powiązane obszary matematyki, które mają ogromne znaczenie w nauce o danych. Można pracować z danymi bez głębokiej znajomości matematyki, ale warto znać przynajmniej podstawowe pojęcia. Poniżej przedstawiamy krótkie wprowadzenie, które pomoże Ci zacząć. [](https://youtu.be/Z5Zy85g4Yjw) ## [Quiz przed wykładem](https://purple-hill-04aebfb03.1.azurestaticapps.net/quiz/6) ## Prawdopodobieństwo i zmienne losowe **Prawdopodobieństwo** to liczba z zakresu od 0 do 1, która wyraża, jak bardzo prawdopodobne jest wystąpienie danego **zdarzenia**. Definiuje się je jako liczbę pozytywnych wyników (prowadzących do zdarzenia) podzieloną przez całkowitą liczbę wyników, zakładając, że wszystkie wyniki są równie prawdopodobne. Na przykład, gdy rzucamy kostką, prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej wynosi 3/6 = 0,5. Mówiąc o zdarzeniach, używamy **zmiennych losowych**. Na przykład zmienna losowa reprezentująca liczbę uzyskaną podczas rzutu kostką przyjmuje wartości od 1 do 6. Zbiór liczb od 1 do 6 nazywamy **przestrzenią próbkową**. Możemy mówić o prawdopodobieństwie, że zmienna losowa przyjmie określoną wartość, na przykład P(X=3)=1/6. Zmienna losowa w powyższym przykładzie nazywana jest **dyskretną**, ponieważ ma policzalną przestrzeń próbkową, czyli istnieją oddzielne wartości, które można wyliczyć. Są jednak przypadki, gdy przestrzeń próbkowa to zakres liczb rzeczywistych lub cały zbiór liczb rzeczywistych. Takie zmienne nazywamy **ciągłymi**. Dobrym przykładem jest czas przyjazdu autobusu. ## Rozkład prawdopodobieństwa W przypadku dyskretnych zmiennych losowych łatwo opisać prawdopodobieństwo każdego zdarzenia za pomocą funkcji P(X). Dla każdej wartości *s* z przestrzeni próbkowej *S* funkcja ta zwraca liczbę z zakresu od 0 do 1, taką że suma wszystkich wartości P(X=s) dla wszystkich zdarzeń wynosi 1. Najbardziej znanym dyskretnym rozkładem jest **rozkład jednostajny**, w którym przestrzeń próbkowa składa się z N elementów, a prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi 1/N. Trudniej jest opisać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej ciągłej, której wartości są pobierane z pewnego przedziału [a,b] lub całego zbioru liczb rzeczywistych ℝ. Rozważmy przypadek czasu przyjazdu autobusu. W rzeczywistości dla każdego dokładnego czasu przyjazdu *t* prawdopodobieństwo, że autobus przyjedzie dokładnie o tej godzinie, wynosi 0! > Teraz wiesz, że zdarzenia o prawdopodobieństwie 0 się zdarzają, i to bardzo często! Przynajmniej za każdym razem, gdy autobus przyjeżdża! Możemy mówić jedynie o prawdopodobieństwie, że zmienna znajdzie się w określonym przedziale wartości, np. P(t₁≤X2). W takim przypadku rozkład prawdopodobieństwa opisuje **funkcja gęstości prawdopodobieństwa** p(x), taka że: ![P(t_1\le X1, x₂, ..., x_n. Możemy zdefiniować **średnią** (lub **średnią arytmetyczną**) tej sekwencji w tradycyjny sposób jako (x₁+x₂+x_n)/n. W miarę zwiększania rozmiaru próby (tj. przechodząc do granicy n→∞), otrzymamy średnią (nazywaną również **wartością oczekiwaną**) rozkładu. Wartość oczekiwaną oznaczamy jako **E**(x). > Można wykazać, że dla dowolnego rozkładu dyskretnego z wartościami {x₁, x₂, ..., x_N} i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami p₁, p₂, ..., p_N, wartość oczekiwana wynosi E(X)=x₁p₁+x₂p₂+...+x_Np_N. Aby określić, jak bardzo wartości są rozproszone, możemy obliczyć wariancję σ² = ∑(x_i - μ)²/n, gdzie μ to średnia sekwencji. Wartość σ nazywana jest **odchyleniem standardowym**, a σ² nazywane jest **wariancją**. ## Dominanta, mediana i kwartyle Czasami średnia nie oddaje odpowiednio "typowej" wartości danych. Na przykład, gdy istnieje kilka skrajnych wartości, które są całkowicie poza zakresem, mogą one wpłynąć na średnią. Dobrym wskaźnikiem jest **mediana**, wartość, dla której połowa punktów danych jest niższa, a druga połowa - wyższa. Aby lepiej zrozumieć rozkład danych, warto mówić o **kwartylach**: * Pierwszy kwartyl, czyli Q1, to wartość, dla której 25% danych jest poniżej tej wartości * Trzeci kwartyl, czyli Q3, to wartość, dla której 75% danych jest poniżej tej wartości Graficznie możemy przedstawić zależność między medianą a kwartylami na diagramie zwanym **wykres pudełkowy**: Tutaj obliczamy również **rozstęp międzykwartylowy** IQR=Q3-Q1 oraz tzw. **wartości odstające** - wartości, które znajdują się poza granicami [Q1-1.5*IQR,Q3+1.5*IQR]. Dla skończonego rozkładu, który zawiera niewielką liczbę możliwych wartości, dobrą "typową" wartością jest ta, która pojawia się najczęściej, czyli **dominanta**. Często stosuje się ją do danych kategorycznych, takich jak kolory. Rozważ sytuację, w której mamy dwie grupy ludzi - jedni zdecydowanie preferują czerwony, a inni niebieski. Jeśli zakodujemy kolory liczbami, średnia wartość ulubionego koloru znajdzie się gdzieś w spektrum pomarańczowo-zielonym, co nie wskazuje rzeczywistej preferencji żadnej z grup. Jednak dominanta będzie jednym z kolorów lub oboma kolorami, jeśli liczba osób głosujących na nie jest równa (w takim przypadku próbka nazywana jest **wielomodalną**). ## Dane rzeczywiste Analizując dane z rzeczywistości, często nie są one zmiennymi losowymi w sensie, że nie przeprowadzamy eksperymentów z nieznanym wynikiem. Na przykład, rozważmy drużynę baseballową i ich dane fizyczne, takie jak wzrost, waga i wiek. Te liczby nie są dokładnie losowe, ale nadal możemy zastosować te same pojęcia matematyczne. Na przykład, sekwencję wag ludzi można uznać za sekwencję wartości pobranych z pewnej zmiennej losowej. Poniżej znajduje się sekwencja wag rzeczywistych graczy baseballowych z [Major League Baseball](http://mlb.mlb.com/index.jsp), zaczerpnięta z [tego zbioru danych](http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_Data_MLB_HeightsWeights) (dla wygody pokazano tylko pierwsze 20 wartości): ``` [180.0, 215.0, 210.0, 210.0, 188.0, 176.0, 209.0, 200.0, 231.0, 180.0, 188.0, 180.0, 185.0, 160.0, 180.0, 185.0, 197.0, 189.0, 185.0, 219.0] ``` > **Note**: Aby zobaczyć przykład pracy z tym zbiorem danych, zapoznaj się z [dołączonym notebookiem](../../../../1-Introduction/04-stats-and-probability/notebook.ipynb). W tej lekcji znajduje się również wiele wyzwań, które możesz rozwiązać, dodając kod do tego notebooka. Jeśli nie wiesz, jak operować na danych, nie martw się - wrócimy do pracy z danymi w Pythonie później. Jeśli nie wiesz, jak uruchomić kod w Jupyter Notebook, zapoznaj się z [tym artykułem](https://soshnikov.com/education/how-to-execute-notebooks-from-github/). Oto wykres pudełkowy pokazujący średnią, medianę i kwartyle dla naszych danych:  Ponieważ nasze dane zawierają informacje o różnych **rolach** graczy, możemy również stworzyć wykres pudełkowy według roli - pozwoli nam to zrozumieć, jak wartości parametrów różnią się w zależności od roli. Tym razem rozważymy wzrost:  Ten diagram sugeruje, że średni wzrost pierwszobazowych jest wyższy niż wzrost drugobazowych. Później w tej lekcji dowiemy się, jak można bardziej formalnie przetestować tę hipotezę i jak wykazać, że nasze dane są statystycznie istotne, aby to pokazać. > Pracując z danymi rzeczywistymi, zakładamy, że wszystkie punkty danych są próbkami pobranymi z pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. To założenie pozwala nam stosować techniki uczenia maszynowego i budować działające modele predykcyjne. Aby zobaczyć, jaki jest rozkład naszych danych, możemy narysować wykres zwany **histogramem**. Oś X zawiera liczbę różnych przedziałów wag (tzw. **koszyki**), a oś pionowa pokazuje liczbę przypadków, w których próbka zmiennej losowej znalazła się w danym przedziale.  Z tego histogramu widać, że wszystkie wartości są skoncentrowane wokół pewnej średniej wagi, a im dalej od tej wagi, tym rzadziej spotykamy wagi o tej wartości. Oznacza to, że bardzo mało prawdopodobne jest, aby waga gracza baseballowego była bardzo różna od średniej wagi. Wariancja wag pokazuje, w jakim stopniu wagi mogą różnić się od średniej. > Jeśli weźmiemy wagi innych osób, nie z ligi baseballowej, rozkład prawdopodobnie będzie inny. Jednak kształt rozkładu pozostanie taki sam, ale średnia i wariancja się zmienią. Dlatego jeśli przeszkolimy nasz model na graczach baseballowych, prawdopodobnie da błędne wyniki, gdy zostanie zastosowany do studentów uniwersytetu, ponieważ podstawowy rozkład jest inny. ## Rozkład normalny Rozkład wag, który widzieliśmy powyżej, jest bardzo typowy, a wiele pomiarów z rzeczywistości podąża za tym samym typem rozkładu, ale z różnymi średnimi i wariancją. Ten rozkład nazywany jest **rozkładem normalnym** i odgrywa bardzo ważną rolę w statystyce. Użycie rozkładu normalnego to właściwy sposób na generowanie losowych wag potencjalnych graczy baseballowych. Gdy znamy średnią wagę `mean` i odchylenie standardowe `std`, możemy wygenerować 1000 próbek wag w następujący sposób: ```python samples = np.random.normal(mean,std,1000) ``` Jeśli narysujemy histogram wygenerowanych próbek, zobaczymy obraz bardzo podobny do tego pokazanego powyżej. A jeśli zwiększymy liczbę próbek i liczbę koszyków, możemy wygenerować obraz rozkładu normalnego, który jest bliższy ideałowi:  *Rozkład normalny ze średnią=0 i odchyleniem standardowym=1* ## Przedziały ufności Mówiąc o wagach graczy baseballowych, zakładamy, że istnieje pewna **zmienna losowa W**, która odpowiada idealnemu rozkładowi prawdopodobieństwa wag wszystkich graczy baseballowych (tzw. **populacja**). Nasza sekwencja wag odpowiada podzbiorowi wszystkich graczy baseballowych, który nazywamy **próbką**. Interesujące pytanie brzmi: czy możemy poznać parametry rozkładu W, tj. średnią i wariancję populacji? Najprostszą odpowiedzią byłoby obliczenie średniej i wariancji naszej próbki. Jednak może się zdarzyć, że nasza losowa próbka nie odzwierciedla dokładnie całej populacji. Dlatego warto mówić o **przedziale ufności**. > **Przedział ufności** to oszacowanie prawdziwej średniej populacji na podstawie naszej próby, które jest dokładne z określonym prawdopodobieństwem (lub **poziomem ufności**). Przypuśćmy, że mamy próbkę X₁, ..., X_n z naszej dystrybucji. Za każdym razem, gdy losujemy próbkę z naszej dystrybucji, otrzymujemy inną wartość średnią μ. W związku z tym μ można uznać za zmienną losową. **Przedział ufności** z ufnością p to para wartości (L_p,R_p), taka że **P**(L_p≤μ≤R_p) = p, czyli prawdopodobieństwo, że zmierzona wartość średnia mieści się w przedziale, wynosi p. Szczegółowe omówienie, jak obliczane są te przedziały ufności, wykracza poza nasz krótki wstęp. Więcej szczegółów można znaleźć [na Wikipedii](https://en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval). W skrócie, definiujemy rozkład obliczonej średniej próbki względem prawdziwej średniej populacji, który nazywany jest **rozkładem Studenta**. > **Ciekawostka**: Rozkład Studenta został nazwany na cześć matematyka Williama Sealy Gosseta, który opublikował swoje prace pod pseudonimem "Student". Pracował w browarze Guinness, a według jednej z wersji jego pracodawca nie chciał, aby opinia publiczna wiedziała, że używają testów statystycznych do oceny jakości surowców. Jeśli chcemy oszacować średnią μ naszej populacji z ufnością p, musimy wziąć *(1-p)/2-ty percentyl* rozkładu Studenta A, który można znaleźć w tabelach lub obliczyć za pomocą wbudowanych funkcji oprogramowania statystycznego (np. Python, R itp.). Wtedy przedział dla μ będzie dany przez X±A*D/√n, gdzie X to uzyskana średnia próbki, a D to odchylenie standardowe. > **Uwaga**: Pomijamy również omówienie ważnego pojęcia [stopni swobody](https://en.wikipedia.org/wiki/Degrees_of_freedom_(statistics)), które jest istotne w kontekście rozkładu Studenta. Można odwołać się do bardziej kompletnych książek o statystyce, aby lepiej zrozumieć ten koncept. Przykład obliczenia przedziału ufności dla wagi i wzrostu znajduje się w [dołączonych notatnikach](../../../../1-Introduction/04-stats-and-probability/notebook.ipynb). | p | Średnia wagi | |------|--------------| | 0.85 | 201.73±0.94 | | 0.90 | 201.73±1.08 | | 0.95 | 201.73±1.28 | Zauważ, że im wyższe prawdopodobieństwo ufności, tym szerszy jest przedział ufności. ## Testowanie hipotez W naszym zbiorze danych o graczach baseballowych istnieją różne role graczy, które można podsumować poniżej (zobacz [dołączony notatnik](../../../../1-Introduction/04-stats-and-probability/notebook.ipynb), aby zobaczyć, jak można obliczyć tę tabelę): | Rola | Wzrost | Waga | Liczba | |-------------------|------------|------------|--------| | Catcher | 72.723684 | 204.328947 | 76 | | Designated_Hitter | 74.222222 | 220.888889 | 18 | | First_Baseman | 74.000000 | 213.109091 | 55 | | Outfielder | 73.010309 | 199.113402 | 194 | | Relief_Pitcher | 74.374603 | 203.517460 | 315 | | Second_Baseman | 71.362069 | 184.344828 | 58 | | Shortstop | 71.903846 | 182.923077 | 52 | | Starting_Pitcher | 74.719457 | 205.163636 | 221 | | Third_Baseman | 73.044444 | 200.955556 | 45 | Możemy zauważyć, że średni wzrost pierwszych bazowych jest wyższy niż drugich bazowych. Możemy więc być skłonni stwierdzić, że **pierwsi bazowi są wyżsi niż drudzy bazowi**. > To stwierdzenie nazywane jest **hipotezą**, ponieważ nie wiemy, czy fakt jest rzeczywiście prawdziwy. Jednak nie zawsze jest oczywiste, czy możemy wyciągnąć taki wniosek. Z powyższej dyskusji wiemy, że każda średnia ma związany z nią przedział ufności, a zatem ta różnica może być tylko błędem statystycznym. Potrzebujemy bardziej formalnego sposobu na przetestowanie naszej hipotezy. Obliczmy przedziały ufności osobno dla wzrostu pierwszych i drugich bazowych: | Ufność | Pierwsi bazowi | Drudzy bazowi | |--------|----------------|---------------| | 0.85 | 73.62..74.38 | 71.04..71.69 | | 0.90 | 73.56..74.44 | 70.99..71.73 | | 0.95 | 73.47..74.53 | 70.92..71.81 | Widzimy, że przy żadnym poziomie ufności przedziały się nie pokrywają. To dowodzi naszej hipotezy, że pierwsi bazowi są wyżsi niż drudzy bazowi. Bardziej formalnie, problem, który rozwiązujemy, polega na sprawdzeniu, czy **dwa rozkłady prawdopodobieństwa są takie same**, lub przynajmniej mają te same parametry. W zależności od rozkładu musimy użyć różnych testów. Jeśli wiemy, że nasze rozkłady są normalne, możemy zastosować **[test t Studenta](https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test)**. W teście t Studenta obliczamy tak zwaną **wartość t**, która wskazuje różnicę między średnimi, uwzględniając wariancję. Udowodniono, że wartość t podąża za **rozkładem Studenta**, co pozwala nam uzyskać wartość progową dla danego poziomu ufności **p** (można ją obliczyć lub znaleźć w tabelach numerycznych). Następnie porównujemy wartość t z tą wartością progową, aby zatwierdzić lub odrzucić hipotezę. W Pythonie możemy użyć pakietu **SciPy**, który zawiera funkcję `ttest_ind` (oprócz wielu innych przydatnych funkcji statystycznych!). Oblicza ona wartość t za nas, a także wykonuje odwrotne wyszukiwanie wartości p ufności, dzięki czemu możemy po prostu spojrzeć na ufność, aby wyciągnąć wnioski. Na przykład nasze porównanie wzrostu pierwszych i drugich bazowych daje następujące wyniki: ```python from scipy.stats import ttest_ind tval, pval = ttest_ind(df.loc[df['Role']=='First_Baseman',['Height']], df.loc[df['Role']=='Designated_Hitter',['Height']],equal_var=False) print(f"T-value = {tval[0]:.2f}\nP-value: {pval[0]}") ``` ``` T-value = 7.65 P-value: 9.137321189738925e-12 ``` W naszym przypadku wartość p jest bardzo niska, co oznacza, że istnieją silne dowody na poparcie tezy, że pierwsi bazowi są wyżsi. Istnieją również inne rodzaje hipotez, które możemy chcieć przetestować, na przykład: * Udowodnienie, że dana próbka podąża za jakimś rozkładem. W naszym przypadku założyliśmy, że wzrosty są rozkładem normalnym, ale to wymaga formalnej weryfikacji statystycznej. * Udowodnienie, że średnia wartość próbki odpowiada jakiejś z góry określonej wartości. * Porównanie średnich kilku próbek (np. jaka jest różnica w poziomach szczęścia w różnych grupach wiekowych). ## Prawo wielkich liczb i twierdzenie centralne graniczne Jednym z powodów, dla których rozkład normalny jest tak ważny, jest tak zwane **twierdzenie centralne graniczne**. Przypuśćmy, że mamy dużą próbkę niezależnych wartości N X₁, ..., X_N, pobranych z dowolnego rozkładu o średniej μ i wariancji σ². Wtedy, dla wystarczająco dużego N (innymi słowy, gdy N→∞), średnia Σ_iX_i będzie miała rozkład normalny, ze średnią μ i wariancją σ²/N. > Innym sposobem interpretacji twierdzenia centralnego granicznego jest stwierdzenie, że niezależnie od rozkładu, gdy obliczasz średnią sumy dowolnych wartości zmiennych losowych, kończysz z rozkładem normalnym. Z twierdzenia centralnego granicznego wynika również, że gdy N→∞, prawdopodobieństwo, że średnia próbki będzie równa μ, staje się 1. Jest to znane jako **prawo wielkich liczb**. ## Kowariancja i korelacja Jednym z zadań Data Science jest znajdowanie relacji między danymi. Mówimy, że dwie sekwencje **korelują**, gdy wykazują podobne zachowanie w tym samym czasie, tj. albo rosną/spadają jednocześnie, albo jedna sekwencja rośnie, gdy druga spada i vice versa. Innymi słowy, wydaje się, że istnieje pewna relacja między dwiema sekwencjami. > Korelacja niekoniecznie wskazuje na związek przyczynowy między dwiema sekwencjami; czasami obie zmienne mogą zależeć od jakiejś zewnętrznej przyczyny, lub może to być czysty przypadek, że dwie sekwencje korelują. Jednak silna matematyczna korelacja jest dobrym wskazaniem, że dwie zmienne są w jakiś sposób powiązane. Matematycznie głównym pojęciem, które pokazuje relację między dwiema zmiennymi losowymi, jest **kowariancja**, która jest obliczana w następujący sposób: Cov(X,Y) = **E**\[(X-**E**(X))(Y-**E**(Y))\]. Obliczamy odchylenie obu zmiennych od ich wartości średnich, a następnie iloczyn tych odchyleń. Jeśli obie zmienne odchylają się razem, iloczyn zawsze będzie wartością dodatnią, która doda się do dodatniej kowariancji. Jeśli obie zmienne odchylają się niesynchronicznie (tj. jedna spada poniżej średniej, gdy druga rośnie powyżej średniej), zawsze otrzymamy liczby ujemne, które dodadzą się do ujemnej kowariancji. Jeśli odchylenia nie są zależne, dodadzą się do wartości bliskiej zeru. Wartość bezwzględna kowariancji nie mówi nam wiele o tym, jak duża jest korelacja, ponieważ zależy od wielkości rzeczywistych wartości. Aby ją znormalizować, możemy podzielić kowariancję przez odchylenie standardowe obu zmiennych, aby uzyskać **korelację**. Dobrą rzeczą jest to, że korelacja zawsze mieści się w zakresie [-1,1], gdzie 1 wskazuje na silną dodatnią korelację między wartościami, -1 - silną ujemną korelację, a 0 - brak korelacji (zmienne są niezależne). **Przykład**: Możemy obliczyć korelację między wagą a wzrostem graczy baseballowych z wyżej wspomnianego zbioru danych: ```python print(np.corrcoef(weights,heights)) ``` W rezultacie otrzymujemy **macierz korelacji** taką jak ta: ``` array([[1. , 0.52959196], [0.52959196, 1. ]]) ``` > Macierz korelacji C można obliczyć dla dowolnej liczby sekwencji wejściowych S₁, ..., S_n. Wartość C_ij to korelacja między S_i a S_j, a elementy diagonalne zawsze wynoszą 1 (co jest również autokorelacją S_i). W naszym przypadku wartość 0.53 wskazuje, że istnieje pewna korelacja między wagą a wzrostem osoby. Możemy również wykonać wykres punktowy jednej wartości względem drugiej, aby zobaczyć relację wizualnie:  > Więcej przykładów korelacji i kowariancji można znaleźć w [dołączonym notatniku](../../../../1-Introduction/04-stats-and-probability/notebook.ipynb). ## Podsumowanie W tej sekcji nauczyliśmy się: * podstawowych właściwości statystycznych danych, takich jak średnia, wariancja, dominanta i kwartyle * różnych rozkładów zmiennych losowych, w tym rozkładu normalnego * jak znaleźć korelację między różnymi właściwościami * jak używać solidnego aparatu matematyki i statystyki do udowadniania hipotez * jak obliczać przedziały ufności dla zmiennej losowej na podstawie próbki danych Chociaż to zdecydowanie nie jest wyczerpująca lista tematów istniejących w zakresie prawdopodobieństwa i statystyki, powinna wystarczyć, aby dać Ci dobry start w tym kursie. ## 🚀 Wyzwanie Użyj przykładowego kodu w notatniku, aby przetestować inne hipotezy: 1. Pierwsi bazowi są starsi niż drudzy bazowi 2. Pierwsi bazowi są wyżsi niż trzeci bazowi 3. Shortstopy są wyższe niż drudzy bazowi ## [Quiz po wykładzie](https://purple-hill-04aebfb03.1.azurestaticapps.net/quiz/7) ## Przegląd i samodzielna nauka Prawdopodobieństwo i statystyka to tak szeroki temat, że zasługuje na osobny kurs. Jeśli chcesz zgłębić teorię, możesz kontynuować czytanie niektórych z poniższych książek: 1. [Carlos Fernandez-Granda](https://cims.nyu.edu/~cfgranda/) z New York University ma świetne notatki z wykładów [Probability and Statistics for Data Science](https://cims.nyu.edu/~cfgranda/pages/stuff/probability_stats_for_DS.pdf) (dostępne online) 1. [Peter and Andrew Bruce. Practical Statistics for Data Scientists.](https://www.oreilly.com/library/view/practical-statistics-for/9781491952955/) [[przykładowy kod w R](https://github.com/andrewgbruce/statistics-for-data-scientists)]. 1. [James D. Miller. Statistics for Data Science](https://www.packtpub.com/product/statistics-for-data-science/9781788290678) [[przykładowy kod w R](https://github.com/PacktPublishing/Statistics-for-Data-Science)] ## Zadanie [Małe badanie cukrzycy](assignment.md) ## Podziękowania Ta lekcja została napisana z ♥️ przez [Dmitry Soshnikov](http://soshnikov.com) **Zastrzeżenie**: Ten dokument został przetłumaczony za pomocą usługi tłumaczenia AI [Co-op Translator](https://github.com/Azure/co-op-translator). Chociaż dokładamy wszelkich starań, aby tłumaczenie było precyzyjne, prosimy pamiętać, że automatyczne tłumaczenia mogą zawierać błędy lub nieścisłości. Oryginalny dokument w jego rodzimym języku powinien być uznawany za autorytatywne źródło. W przypadku informacji o kluczowym znaczeniu zaleca się skorzystanie z profesjonalnego tłumaczenia przez człowieka. Nie ponosimy odpowiedzialności za jakiekolwiek nieporozumienia lub błędne interpretacje wynikające z użycia tego tłumaczenia.