# 第一章——线性回归原理

### 线性回归概述

#### 例子：

- 数据：工资和年龄（两个特征）
- 目标：预测银行会贷款给我多少钱（标签）
- 考虑：工资和年龄都会影响最终银行贷款的结果，那么它们各自有多大的影响被？（参数）

| 工资 X1 | 年龄 X2 | 额度 Y |
| ------- | ------- | ------ |
| 4000    | 25      | 20000  |
| 8000    | 30      | 70000  |
| 7500    | 33      | 50000  |

其中工资、年龄是特征，用来预测额度，而我们不可能直接拿工资 × 年龄，因为明显工资更重要些，那么可能建成的方程是 Y = (X1 × θ1) × (X2 × θ1)，其中θ就是各种特征的权重，那么最终我们要求解的就是各种的θ。

而线性回归就说得到每个数据最终的预测Y（具体的值），除了回归还有分类，分类是离散型的0/1等固定值的分类。

### 通俗理解

- X1，X2就是我们的两个特征工资和年龄，Y是银行最终会借给我们额度
- 找到最合适的一条线，来拟合我们的数据点

![1613962795506](assets/1613962795506.png)

> 红色的点是数据，即前面的特征等

当前的数据是线性的，也就是数据不能映射在同一个平面。那么 Y = (X1 × θ1) × (X2 × θ1)就不能覆盖所有的点进行计算。怎么样解决这个问题，或者说如果我们能尽可能的满足绝大多数数据点，是否就可以了呢。



### 误差

#### 误差项公式

接着上面的问题，什么样的平面才是最合理最满足的呢

- 假设 θ1是工资的参数， θ2是年龄的参数
- 拟合的平面：h θ(x) =  θ0 +  θ1X1 +  θ2X2
  - θ0是偏置项，不管θ1和θ2等什么变化，θ0的变化会影响平面向上或者向下浮动，对结果做微调
  - 上面的方程可能无法形成矩阵相乘的形式，因为θ0没有X0，我们可以添加一个不影响整体的X0，以达到矩阵相乘的效果
- 整合：![1613963456265](assets/1613963456265.png)

- 真实值和预测值之间肯定要存在差异的（用ε来表示该误差）

- 对于每个样本：![1613965126989](assets/1613965126989.png)

  > y表示真实值，![1613965189106](assets/1613965189106.png)（第二项）表示预测值，ε表示误差值，即预测值和真实值之间有一个误差项，其中 i 表示每个样本之间都有自己的真实值、预测值、误差项

误差项越小，代表预测的越准确。

#### 独立同分布的意义

- 误差 ε(i) 是独立且具有相同的分布，并服从均值为0方差为θ平方的高斯分布

  > 我们拆开上面的话

  - 独立：小明和小红一起来贷款，他们没关系
  - 同分布：他们都是去同一个银行
  - 高斯分布：银行可能会多给，也可能会少给，但绝大多数情况下这个浮动不会太大，极小情况下浮动会比较大，符合正常情况

  ![1613977618784](assets/1613977618784.png)

  现实中也很难有绝对的高斯分布，大多数是近似高斯分布，也就是我们算法推导的时候也很难得到一个完全正确的答案，只有最接近的答案，也就是存在误差。

#### 似然函数的作用

- 预测值与误差：![1613978116054](assets/1613978116054.png)（1）

  > y是真实值、x是预测值、ε误差值，现在我们要求的就是θ，它应该怎么求解

- 由于误差服从高斯分布：![1613978136136](assets/1613978136136.png)（2）

  > 高斯分布的公式，这里我们要求的是θ，所以把θ移动到左边，变成y - θX = ε，即演变成

- 将（1）式带入（2）式：![1613978160407](assets/1613978160407.png)（3）

  > 这里我们希望左边的x和θ组合完后，和真实值y越解决越好，即成为y的可能性越大越好

- 似然函数：![1613978566334](assets/1613978566334.png)

  解释：为什么引入，什么样的参数跟我们的数据组合后恰好是真实值

- 对数似然：![1613978607945](assets/1613978607945.png)

  解释：乘法难解，加法就容易了，对数里乘法可以转换成加法

  - 展开化简：![1613980700874](assets/1613980700874.png)

  - 目标：让似然函数（对数变换后也一样）越大越好

    ![1613980821171](assets/1613980821171.png)（最小二乘法）

#### 参数求解

- 目标函数：![1614044218548](assets/1614044218548.png)
- 求偏导：![1614044234709](assets/1614044234709.png)
- 偏导等于0的最优解：![1614044250549](assets/1614044250549.png)



### 梯度下降

#### 通俗理解

- 引入：当我们得到了一个目标函数后，如何求解？（并不一定可解，线性回归可以当做是一个特例）
- 常规套路：机器学习的套路就是我们交给机器一堆数据，然后告诉它什么样的学习方式是对的（目标函数），然后让它朝着这个方向去做
- 如何优化：一步步的完成迭代。![1614051473653](assets/1614051473653.png)

#### 参数更新方法

- 目标函数：![1614053992861](assets/1614053992861.png)

  > θ0和θ1分别得出方向，最终找到综合的结果。

- 寻找山谷的最低点，也就是我们的目标函数终点

- 下山分多步走（更新参数）

  1. 找到最合适的方向
  2. 每次走一小步
  3. 按照方向和步伐更新参数

![1614054121928](assets/1614054121928.png)

梯度下降，目标函数：![1614054304093](assets/1614054304093.png)

- 批量梯度下降：![1614054320647](assets/1614054320647.png)

  （容易得到最优解，但由于每次考虑所有样本，速度很慢）

- 随机梯度下降：![1614054359779](assets/1614054359779.png)

  （每次找到一个样本，迭代速度快，但不一定每次都朝着收敛的方向）

- 小批量梯度下降发：![1614054402887](assets/1614054402887.png)

  > 简化成代码即 θ = θ - α×(1/n) × ( (残差×数据)矩阵 )
  >
  > 残差=![1614131914417](assets/1614131914417.png)

  （每次更新选择一小部分数据来算）



#### 学习率（步长）

> 上面小批量梯度公式里的α

- 学习率（步长）：对结果会产生巨大的影响，一般小一些
- 如何选择：从小的开始，知道不能再小
- 批处理数：32、64、128都可以，很多时候还要考虑资源和时间

![1614062404175](assets/1614062404175.png)