# 4.朴素贝叶斯

### 知识树

Knowledge tree

![1618404326280](assets/1618404326280.png)

> P(y|x)，P给定x的条件下，y的概率。如：P(y=我招女孩子喜欢的概率|我是学生)



### 一个小故事

A story

1. 女朋友和妈妈掉河里，路人拿出3颗豆，两颗红豆1颗绿豆。如果我抽中红豆救女朋友，抽中绿豆救妈妈。
2. 我和路人各种抽一颗，路人发现自己抽中的是绿豆，他想用剩下的那颗跟我换，我换不换？换豆和女朋友活下去的概率一样吗？

![1618406886874](assets/1618406886874.png)

**直觉来讲**：

换不换豆我抽中红豆的概率应该都是1/3。这时路人跟我说他的是绿豆，排除一颗，我抽中红豆的概率是1/2。换不换概率都是1/2

**条件概率**：

P(A|B)表示在B发生的条件下，发生A的概率。

![1618409215596](assets/1618409215596.png)

计算：设A表示我抽中的是红豆，B表示路人抽中的是绿豆

![1618409412777](assets/1618409412777.png)

结论：如果要救女朋友，最好和路人交换（2/3）。如果要救妈，最好不要换。



### 直观理解

Intuitive understanding

假设有一个手写数据集，里面有100条记录，分别是0-10。

此时小红写了个数字X，怎么判断是数字几？

朴素贝叶斯工作原理：

P(Y = 0|X) = ?, P(Y = 1|X)=? ......, P(Y = 10|X) = ?

找到概率最高的，就是对应的数字。



### 数学理解

Mathmetical

上面的数字判别公式修改为P(Y=Ck|X=x)。

![1618414407415](assets/1618414407415.png)

![1618414441014](assets/1618414441014.png)

![1618414482438](assets/1618414482438.png)

![1618414502850](assets/1618414502850.png)

> 朴素贝叶斯的“朴素”原因是因为这里假设它们都是相互独立的。



![1618414581449](assets/1618414581449.png)

![1618414592721](assets/1618414592721.png)



### 参数估计

Mathematical understanding

![1618496995830](assets/1618496995830.png)

![1618497005325](assets/1618497005325.png)

> 其中I(yi = Ck) 这里的是指示函数，如果yi属于当前类别，则计1，否则0

![1618497151734](assets/1618497151734.png)

![1618497157923](assets/1618497157923.png)



### 举个例子

Example

试由下表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器，并确定x=(2,S)T的类标签记y。表中X(1)，X(2)为特征，取值的集合分别为A1={1,2,3}，A2={S,M,L}，Y为类标记，Y∈C = {1,-1}。

![1618499911394](assets/1618499911394.png)

对于给定的![1618499933265](assets/1618499933265.png)计算：

![1618499978692](assets/1618499978692.png)

![1618499987375](assets/1618499987375.png)

![1618499996865](assets/1618499996865.png)



### 总结

Summarization

1. 条件概率公式：![1618500113195](assets/1618500113195.png)，表示在已发生事件B的情况下，事件A发生的概率。
2. 使用条件概率公式逐步导出最后参数估计的步骤需牢记。
3. 后续会遇到很多类似的推导过程，一般都是先各种替换变复杂最后简化。

另，公式存在一点点问题，如公式的分母可能为0。