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@@ -29,15 +29,15 @@
 
 ## 3. 五个核心概念
 
-下标 \(t\) 表示第 \(t\) 个时间步（timestep）。
+下标 $t$ 表示第 $t$ 个时间步（timestep）。
 
 | 概念 | 符号 | 含义 | 推物例子 |
 | --- | --- | --- | --- |
-| 状态（State） | \(s_t\) | 足以描述环境当前情况及其后续演化的信息 | 推杆位置、方块位置、方块角度、速度等 |
-| 观察（Observation） | \(o_t\) | 机器人通过传感器实际获得的信息 | 相机图像、关节角度、测得的位置 |
-| 动作（Action） | \(a_t\) | 策略发送给环境或控制器的指令 | 推杆的目标坐标、机械臂关节目标 |
-| 策略（Policy） | \(\pi\) | 根据观察和任务目标选择动作的规则或模型 | 根据方块和目标的位置决定向哪里推 |
-| 状态转移（Transition） | \(f\) 或 \(P\) | 环境执行动作后如何变化 | 接触和摩擦使方块移动或旋转 |
+| 状态（State） | $s_t$ | 足以描述环境当前情况及其后续演化的信息 | 推杆位置、方块位置、方块角度、速度等 |
+| 观察（Observation） | $o_t$ | 机器人通过传感器实际获得的信息 | 相机图像、关节角度、测得的位置 |
+| 动作（Action） | $a_t$ | 策略发送给环境或控制器的指令 | 推杆的目标坐标、机械臂关节目标 |
+| 策略（Policy） | $\pi$ | 根据观察和任务目标选择动作的规则或模型 | 根据方块和目标的位置决定向哪里推 |
+| 状态转移（Transition） | $f$ 或 $P$ | 环境执行动作后如何变化 | 接触和摩擦使方块移动或旋转 |
 
 ### 3.1 状态不等于观察
 
@@ -45,7 +45,7 @@
 
 以 PushT 推物任务为例，一个简化状态可以写成：
 
-\[
+$$
 s_t=
 \begin{bmatrix}
 x_t^{\text{agent}} & y_t^{\text{agent}} &
@@ -53,21 +53,21 @@ x_t^{\text{block}} & y_t^{\text{block}} &
 \theta_t^{\text{block}}
 \end{bmatrix}
 \in\mathbb{R}^{5}
-\]
+$$
 
 其中：
 
-- \(x_t^{\text{agent}},y_t^{\text{agent}}\)：推杆在平面中的位置；
-- \(x_t^{\text{block}},y_t^{\text{block}}\)：方块中心的位置；
-- \(\theta_t^{\text{block}}\)：方块的旋转角度。
+- $x_t^{\text{agent}},y_t^{\text{agent}}$：推杆在平面中的位置；
+- $x_t^{\text{block}},y_t^{\text{block}}$：方块中心的位置；
+- $\theta_t^{\text{block}}$：方块的旋转角度。
 
-一个状态向量的形状是 `(5,)`。如果一次处理 \(B\) 个状态，组成的批量张量形状就是 `(B, 5)`。
+一个状态向量的形状是 `(5,)`。如果一次处理 $B$ 个状态，组成的批量张量形状就是 `(B, 5)`。
 
 真实机器人可能只能看到相机图像，无法直接知道精确位置、速度或摩擦系数。因此观察可能不完整，也可能带有噪声。当一次观察不足以判断当前状态时，策略可能需要使用连续多帧观察或历史信息。
 
 ### 3.2 策略不一定是神经网络
 
-策略 \(\pi\) 是从输入到动作的映射。它可以是：
+策略 $\pi$ 是从输入到动作的映射。它可以是：
 
 - 人工编写的规则；
 - 传统控制算法；
@@ -80,52 +80,52 @@ x_t^{\text{block}} & y_t^{\text{block}} &
 
 先采用无噪声、确定性的简化模型：
 
-\[
+$$
 \begin{aligned}
 o_t &= h(s_t),\\
 a_t &= \pi(o_t,g),\\
 s_{t+1} &= f(s_t,a_t),\\
 o_{t+1} &= h(s_{t+1}).
 \end{aligned}
-\]
+$$
 
 公式中的符号分别表示：
 
-- \(s_t\)：执行动作前的环境状态；
-- \(o_t\)：策略实际获得的观察；
-- \(g\)：任务目标，例如方块的目标位置；
-- \(a_t\)：策略选择的动作；
-- \(s_{t+1}\)：执行动作后的新状态；
-- \(h\)：从真实状态产生传感器观察的过程；
-- \(\pi\)：根据观察和目标选择动作的策略；
-- \(f\)：环境的状态转移函数。
+- $s_t$：执行动作前的环境状态；
+- $o_t$：策略实际获得的观察；
+- $g$：任务目标，例如方块的目标位置；
+- $a_t$：策略选择的动作；
+- $s_{t+1}$：执行动作后的新状态；
+- $h$：从真实状态产生传感器观察的过程；
+- $\pi$：根据观察和目标选择动作的策略；
+- $f$：环境的状态转移函数。
 
-这里把目标 \(g\) 明确写进策略，因为同一个观察面对不同目标时，正确动作可能不同。另一种常见写法是把目标作为观察的一部分：
+这里把目标 $g$ 明确写进策略，因为同一个观察面对不同目标时，正确动作可能不同。另一种常见写法是把目标作为观察的一部分：
 
-\[
+$$
 \tilde{o}_t=[o_t,g],\qquad a_t=\pi(\tilde{o}_t).
-\]
+$$
 
 真实环境存在不确定性，相同状态下执行相同动作，结果也可能略有不同。这时状态转移可以写成概率形式：
 
-\[
+$$
 s_{t+1}\sim P(\cdot\mid s_t,a_t).
-\]
+$$
 
-\(P\) 表示：已知当前状态和动作时，下一个状态可能服从的概率分布。本章只需要知道不确定性存在，暂时不展开概率推导。
+$P$ 表示：已知当前状态和动作时，下一个状态可能服从的概率分布。本章只需要知道不确定性存在，暂时不展开概率推导。
 
 ## 5. 反馈、奖励和成功信号不是一回事
 
-闭环中的**反馈（feedback）**通常指执行动作后获得的新观察 \(o_{t+1}\)。**奖励（reward）**则是用数值评价动作结果的信号：
+闭环中的**反馈（feedback）**通常指执行动作后获得的新观察 $o_{t+1}$。**奖励（reward）**则是用数值评价动作结果的信号：
 
-\[
+$$
 r_t=R(s_t,a_t,s_{t+1}).
-\]
+$$
 
 例如：
 
-- 新观察：方块现在位于坐标 \((3.1,2.0)\)；
-- 奖励：方块更接近目标，得到 \(r_t=0.1\)；
+- 新观察：方块现在位于坐标 $(3.1,2.0)$；
+- 奖励：方块更接近目标，得到 $r_t=0.1$；
 - 成功信号：方块进入目标区域，`success=True`。
 
 模仿学习主要从专家的“观察—动作”示范中学习，不一定需要奖励；强化学习通常利用奖励改进策略。两者都会在环境中执行策略并获得新的观察。
@@ -134,44 +134,44 @@ r_t=R(s_t,a_t,s_{t+1}).
 
 为了手算，我们先把推物简化成一维位置控制：
 
-- 当前位置 \(x_0=2\)，目标位置 \(g=5\)；
-- 观察就是当前位置：\(o_t=x_t\)；
-- 动作是本步移动的距离：\(a_t\in[-1,1]\)；
+- 当前位置 $x_0=2$，目标位置 $g=5$；
+- 观察就是当前位置：$o_t=x_t$；
+- 动作是本步移动的距离：$a_t\in[-1,1]$；
 - 暂不考虑接触、摩擦、惯性和传感器噪声。
 
 人工策略定义为：
 
-\[
+$$
 a_t=\operatorname{clip}\bigl(0.5(g-o_t),-1,1\bigr),
-\]
+$$
 
 状态转移为：
 
-\[
+$$
 x_{t+1}=x_t+a_t.
-\]
+$$
 
-`clip(value, -1, 1)` 表示把数值限制在 \([-1,1]\) 内。这里的 \(x_t\)、\(g\)、\(o_t\) 和 \(a_t\) 都是标量；如果统一写成一维张量，形状均为 `(1,)`。
+`clip(value, -1, 1)` 表示把数值限制在 $[-1,1]$ 内。这里的 $x_t$、$g$、$o_t$ 和 $a_t$ 都是标量；如果统一写成一维张量，形状均为 `(1,)`。
 
 第一步可以手算为：
 
-\[
+$$
 \begin{aligned}
 o_0 &= x_0=2,\\
 a_0 &= \operatorname{clip}(0.5\times(5-2),-1,1)=1,\\
 x_1 &= x_0+a_0=2+1=3.
 \end{aligned}
-\]
+$$
 
 第二步为：
 
-\[
+$$
 \begin{aligned}
 o_1 &= x_1=3,\\
 a_1 &= \operatorname{clip}(0.5\times(5-3),-1,1)=1,\\
 x_2 &= x_1+a_1=3+1=4.
 \end{aligned}
-\]
+$$
 
 ## 7. 代码 Demo：观察、动作和反馈的循环
 
@@ -245,28 +245,28 @@ t=5, observation=4.7750, action=0.1125, next_x=4.8875
 
 当位置进入目标附近后，动作逐步变小。定义位置误差：
 
-\[
+$$
 e_t=g-x_t.
-\]
+$$
 
 当动作没有触发上下限时：
 
-\[
+$$
 \begin{aligned}
 a_t &= 0.5e_t,\\
 e_{t+1} &= g-x_{t+1}\\
 &=g-(x_t+0.5e_t)\\
 &=0.5e_t.
 \end{aligned}
-\]
+$$
 
 也就是说，误差每一步缩小一半。它会逐渐接近零，但有限步内通常不会恰好等于零。因此工程中通常使用容差判断成功，例如：
 
-\[
+$$
 |g-x_t|<\varepsilon,
-\]
+$$
 
-其中 \(\varepsilon\) 是允许误差。如果 \(\varepsilon=0.1\)，无扰动实验执行 6 步后的误差为 \(5-4.9375=0.0625\)，可以判定成功。
+其中 $\varepsilon$ 是允许误差。如果 $\varepsilon=0.1$，无扰动实验执行 6 步后的误差为 $5-4.9375=0.0625$，可以判定成功。
 
 扰动实验中，第 2 步执行后的位置由 4.0 变成了 3.2。下一轮策略重新观察到 3.2，于是把动作从原本可能采用的 0.5 调整为 0.9。这正是反馈在闭环中的作用。
 
@@ -303,8 +303,8 @@ while True:
 
 请先自己计算或修改代码，再核对运行结果。
 
-1. 已知 \(x_1=3\)，手算 \(a_1\) 和 \(x_2\)。代码输出是否一致？
-2. 如果目标从 \(g=5\) 改为 \(g=-2\)，为什么只写 \(a_t=\pi(o_t)\) 不足以完整描述这里的策略？
+1. 已知 $x_1=3$，手算 $a_1$ 和 $x_2$。代码输出是否一致？
+2. 如果目标从 $g=5$ 改为 $g=-2$，为什么只写 $a_t=\pi(o_t)$ 不足以完整描述这里的策略？
 3. 将扰动从 `next_x -= 0.8` 改为 `next_x += 0.8`。下一步动作会变大还是变小？为什么？
 4. 分别把 `gain` 改为 `0.2` 和 `1.2`，比较 6 步后的位置和误差。哪个更快？是否出现越过目标的情况？
 5. 用自己的话解释：状态、观察、动作和策略分别是什么？反馈与奖励有什么区别？