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@@ -33,3 +33,120 @@ def mlp(x, scope, n_state, *, hparams):
 
 FFNN 在 Transformer 中的作用是为了引入非线性并增加模型的表达能力。多头注意力机制虽然能够捕捉输入序列中的长距离依赖关系，但它本身是一个线性操作。FFNN 通过在注意力机制之后添加非线性变换，使得模型能够学习更复杂的特征表示。
 
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+### 神经网络demo
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+我们来手动推一个简单的神经网络并更新权重，用一个单层神经网络做例子。这个网络将只有一个输入、一个输出和一个权重（没有偏值项b）。我们将使用均方误差作为损失函数，并通过梯度下降来更新权重。
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+~~~markdown
+输入 (x)  输出 (y)
+   1       2
+   2       4
+   3       6
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+我们的目标是训练一个模型来预测输出`y`，给定输入`x`。我们的模型是一个线性模型：`y_pred = w * x`。
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+初始化权重 `w` 为 0.5，学习率 `lr` 为 0.01。我们将手动进行3次迭代的权重更新。
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+#### 迭代 1:
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+1. **前向传播**：计算预测值
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+   ```
+   y_pred = w * x = 0.5 * 1 = 0.5  (对于第一个样本)
+   ```
+
+2. **计算损失**：使用均方误差
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+   ```
+   loss = (y_pred - y)^2 = (0.5 - 2)^2 = 2.25
+   ```
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+   > 这时候可以看到损失是2.25，一个很大的值，神经网络的最终目的是要降为无限接近于0甚至0（当然一般是达不到0 的，达到的情况下只有可能是错了的）。
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+3. **反向传播**：计算损失关于权重w的梯度
+
+   ```
+   dloss/dw = 2 * (y_pred - y) * x = 2 * (0.5 - 2) * 1 = -3
+   ```
+
+   > 我们需要通过反向传播来更新权重。
+
+4. **更新权重**：
+
+   ```
+   w = w - lr * dloss/dw = 0.5 - 0.01 * (-3) = 0.53
+   ```
+
+#### 迭代 2:
+
+重复上述步骤，使用更新后的权重：
+
+1. **前向传播**：
+
+   ```
+   y_pred = w * x = 0.53 * 1 = 0.53
+   ```
+
+2. **计算损失**：
+
+   ```
+   loss = (0.53 - 2)^2 = 2.14
+   ```
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+   > 可以看到loss值下降了，2.25下降为2.14，但是还不够，我们的目标是无限接近0。
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+3. **反向传播**：
+
+   ```
+   dloss/dw = 2 * (0.53 - 2) * 1 = -2.94
+   ```
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+4. **更新权重**：
+
+   ```
+   w = 0.53 - 0.01 * (-2.94) = 0.56
+   ```
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+#### 迭代 3:
+
+重复上述步骤，使用更新后的权重：
+
+1. **前向传播**：
+
+   ```
+   y_pred = w * x = 0.56 * 1 = 0.56
+   ```
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+   > 预测结果从0.5到0.53再到0.56，逐步接近2这个正确的值。
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+2. **计算损失**：
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+   ```
+   loss = (0.56 - 2)^2 = 2.07
+   ```
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+   > 可以看到loss又一次下降了，也就是只要我们反复循环，那么最终的loss值，一定能无限接近于0。
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+3. **反向传播**：
+
+   ```
+   dloss/dw = 2 * (0.56 - 2) * 1 = -2.88
+   ```
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+4. **更新权重**：
+
+   ```
+   w = 0.56 - 0.01 * (-2.88) = 0.59
+   ```
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+在这个非常简单的例子中，我们可以看到权重`w`在每次迭代后都在逐渐增加，以减少预测值`y_pred`和真实值`y`之间的差异。在实际应用中，我们会使用所有样本来计算损失和梯度，并可能使用更复杂的网络结构和优化算法。但这个例子展示了神经网络权重更新的基本原理。
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+### 总结
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+在GPT-2中，前馈神经网络（FFNN）由两层线性变换组成，其中间插入了GELU激活函数以引入非线性。FFNN在Transformer架构中紧随多头注意力层之后，其目的是增强模型的表达能力，使其能够捕捉更复杂的特征表示。通过手动迭代一个简单的单层神经网络示例，我们展示了权重更新的基本过程：前向传播计算预测值，计算损失函数，通过反向传播求梯度，最后使用梯度下降法更新权重。这个过程在多次迭代中重复，目标是最小化损失函数，从而训练出能够准确预测输出的模型。虽然这是一个简化的例子，但它揭示了深度学习模型训练的核心机制。
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